Gauduchon-Metrik

In der Mathematik sind Gauduchon-Metriken ein Konzept der komplexen Geometrie, welches das Konzept der Calabi-Yau-Metriken von Kähler-Mannigfaltigkeiten auf hermitesche Mannigfaltigkeiten verallgemeinert.

Definition

Ist $M$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und $n={\dim }_{ℂ}M$, so heißt eine hermitesche Metrik $h$ auf $M$ Gauduchon-Metrik, wenn

$\partial \bar{\partial }(h^{n-1})=0$

gilt.

Gauduchon-Vermutung

Die 2015 von Gábor Székelyhidi, Valentino Tosatti und Ben Weinkove bewiesene Gauduchon-Vermutung besagt, dass es auf einer kompakten, komplexen Mannigfaltigkeit $M$ zu jeder die erste Chern-Klasse $c_1(M)$ repräsentierenden $(1,1)$-Form $\mathrm{\Psi }$ eine Gauduchon-Metrik gibt, deren Ricci-Form $\mathrm{\Psi }$ ist. Äquivalent: Zu jeder Volumenform $\sigma$ auf $M$ gibt es eine Gauduchon-Metrik $\omega$ mit ${\omega }^n=\sigma$.

Hintergrund

Für Kähler-Metriken entspricht die Gauduchon-Vermutung der von Yau bewiesenen Calabi-Vermutung. Das entsprechende Problem für hermitesche Metriken ohne zusätzliche Bedingungen ließe sich leicht durch eine konform äquivalente Metrik lösen. Für ${\dim }_{ℂ}(M)>1$ ist jede hermitesche Metrik konform äquivalent zu einer bis auf Skalierung eindeutigen Gauduchon-Metrik, was die Gauduchon-Vermutung motivierte.

Literatur

• Gauduchon: La 1-forme de torsion d'une variété hermitienne compacte, Mathematische Annalen 267, 495–518 (1994).
• Székelyhidi, Tosatti, Weinkove: Gauduchon metrics with prescribed volume form, Acta Mathematica 219, 181–211 (2017).