GHMC-Mannigfaltigkeit

GHMC-Mannigfaltigkeiten (global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeiten) sind ein geometrisches Konzept, das als einfaches Modell für (2+1)-dimensionale Gravitation verwendet wird.

Definition

Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolisch, wenn „ein Vorwärtsreisen in der Zeit nie in die Vergangenheit führt“, d. h. wenn es eine raumartige Hyperfläche (Cauchy-Fläche) gibt, die jede maximale kausale Kurve genau einmal trifft.

Eine d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit $M$ heißt global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeit, wenn sie global hyperbolisch ist, die Cauchy-Fläche kompakt ist und $M$ mit diesen Eigenschaften maximal ist, d. h. $M$ nicht isometrisch in eine größere global hyperbolische d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann.

Satz von Mess

Der Satz von Mess (nach Geoffrey Mess 1990) beschreibt die 3-dimensionalen GHMC-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zu $S\times (0,1)$ für eine Fläche $S$ sind.

Seine Beschreibung verwendet die Identifikation des 3-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raumes $Ad{S}^3$ mit $PSL(2,ℝ)$ und seiner Isometriegruppe $P{O}_0(2,2)$ mit $SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)$, unter der die Wirkung von $P{O}_0(2,2)$ auf $Ad{S}^3$ der Wirkung von $SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)$ auf $PSL(2,ℝ)$ durch Links- und Rechtsmultiplikation entspricht.

Mit dieser Identifikation erhält man jede GHMC-Struktur auf $S\times (0,1)$ wie folgt. Sei $({\rho }_L,{\rho }_R)({\pi }_{1}S)$ ein Paar Fuchsscher Gruppen. Die Wirkung von $({\rho }_L,{\rho }_R)({\pi }_{1}S)$ auf ${\partial }_{\mathrm{\infty }}Ad{S}^3$ lässt einen Kreis $\mathrm{\Lambda }$ invariant, nämlich den Graphen eines die Wirkung von ${\rho }_L$ in die Wirkung von ${\rho }_R$ konjugierenden Homöomorphismus $ℝP^1\to ℝP^1$. Sei $\mathrm{\Omega }\subset ℝP^3$ das Komplement der Vereinigung aller $z^{\perp }$ (bzgl. der Lorentz-Metrik) für $z\in \mathrm{\Lambda }$. Dann ist

$({\rho }_L,{\rho }_R)({\pi }_{1}S)\mathrm{\setminus }\mathrm{\Omega }$

eine GHMC-Mannigfaltigkeit diffeomorph zu $S\times (0,1)$ und der Satz von Mess besagt, dass jede GHMC-Struktur auf $S\times (0,1)$ auf diese Weise entsteht. Die Holonomiegruppen dieser GHMC-Strukturen werden auch als AdS-quasifuchssche Gruppen bezeichnet.

Literatur

• Thierry Barbot: Lorentzian Kleinian Groups. In: L. Ji, A. Papadopoulos, S.-T. Yau (Hrsg.): Handbook of group actions, Band 1. International Press and Higher Education Press, 2015, Vorlage:ArXiv
• Lars Andersson, Thierry Barbot, Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante, William M. Goldman, François Labourie, Kevin Scannell, Jean-Marc Schlenker: Notes on a Paper of Mess. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 47–70, Vorlage:ArXiv