GARCH-Modelle

GARCH-Modelle (GARCH, Akronym für: Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity, Vorlage:DeS verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität) bzw. verallgemeinerte autoregressive Modelle mit bedingter Heteroskedastizität oder auch verallgemeinerte autoregressive bedingt heteroskedastische Zeitreihenmodelle sind stochastische Modelle zur Zeitreihenanalyse, die eine Verallgemeinerung der ARCH-Modelle (autoregressive conditional heteroscedasticity) sind. Sie werden beispielsweise in der Ökonometrie bei der Analyse der Renditen von Aktienkursen zur Modellierung des Volatilitätsclusterings verwendet. GARCH-Modelle wurden 1986 von Tim Bollerslev auf der Grundlage des ARCH-Modells von Robert F. Engle (1982) entwickelt.

Definition

Eine Zeitreihe $(x_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ heißt GARCH(p,q)-Zeitreihe, wenn sie rekursiv definiert ist durch

$\begin{array}{cc}{x}_t& ={\sigma }_t{ϵ}_t\\ {\sigma }_t^2& =a_0+a_1{x}_{t-1}^2+\cdots +a_p{x}_{t-p}^2+b_1{\sigma }_{t-1}^2+\cdots +b_q{\sigma }_{t-q}^2,\end{array}$

wobei $a_0,\dots ,a_p,b_1,\dots ,b_q$ reelle, nichtnegative Parameter mit $a_p\ne 0$ und $b_q\ne 0$ sind, und der Prozess $({ϵ}_t{)}_{t\in \mathbb{Z}}$ aus unabhängigen identisch verteilten Zufallsvariablen mit $\mathrm{E}({ϵ}_t)=0$ und $\mathrm{Var}({ϵ}_t)=1$ besteht.

Bei einem GARCH-Modell hängt also die bedingte Varianz ${\sigma }_t^2=\mathrm{Var}(x_t\mid x_{t-1},x_{t-2},\dots )$ von $x_t$ von ihrer eigenen Vergangenheit und der Vergangenheit der Zeitreihe ab.

Erweiterungen

T-GARCH

T-GARCH-Modelle sind keine echten GARCH-Modelle, sondern verallgemeinern diese wie folgt:
Mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit p, z. B. p=0.999, entsprechen sie dem „normalen“ GARCH und mit Wahrscheinlichkeit 1-p einem vorher festgelegten Wert. Mit diesen nicht-linearen Modellen können dann zum Beispiel Börsencrashs oder Ähnliches simuliert werden.

COGARCH

Claudia Klüppelberg, Alexander Lindner und Ross Maller stellten 2004 eine zeitstetige Erweiterung des zeitdiskreten GARCH(1,1)-Prozesses vor. Man beginnt dafür mit den GARCH(1,1)-Gleichungen

$x_t={\sigma }_t{ϵ}_t$

${\sigma }_t^2=a_0+a_1{x}_{t-1}^2+b_1{\sigma }_{t-1}^2=a_0+a_1{\sigma }_{t-1}^2{ϵ}_{t-1}^2+b_1{\sigma }_{t-1}^2$

und ersetzt die unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen ${ϵ}_t$ formal durch die infinitesimalen Inkremente $\mathrm{d}{L}_t$ eines Lévy-Prozesses $(L_t{)}_{t\ge 0}$ sowie deren Quadrate ${ϵ}_t^2$ durch die Inkremente $\mathrm{d}[L,L{]}_t^{\mathrm{d}}$, wobei

$[L,L{]}_t^{\mathrm{d}}=\sum _{s\in [0,t]}(\mathrm{\Delta }{L}_t{)}^2,t\ge 0$

der rein unstetige Teil des quadratischen Variationsprozesses von $L$ ist. Man erhält also das System

$\mathrm{d}{G}_t={\sigma }_{t-}\mathrm{d}{L}_t$

$\mathrm{d}{\sigma }_t^2=(\beta -\eta {\sigma }_t^2)\mathrm{d}t+\phi {\sigma }_{t-}^2\mathrm{d}[L,L{]}_t^{\mathrm{d}}$

von stochastischen Differentialgleichungen, wobei sich die positiven Parameter $\beta$, $\eta$ und $\phi$ aus $a_0$, $a_1$ und $b_1$ bestimmen lassen. Hat man nun eine Anfangsbedingung $(G_0,{\sigma }_0^2)$ gegeben, so hat das obige System eine pfadweise eindeutige Lösung $(G_t,{\sigma }_t^2{)}_{t\ge 0}$, die dann als COGARCH-Modell (continuous-time GARCH) bezeichnet wird.

Siehe auch

• NARCH-Modell

Literatur

• T. Bollerslev: Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. In: Journal of Econometrics. Vol. 31, No. 3, 1986, S. 307–327, doi:10.1016/0304-4076(86)90063-1.
• J. Franke, W. Härdle, C. M. Hafner: Statistics of Financial Markets: An Introduction. 2. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2008, ISBN 978-3-540-76269-0.