Fukaya-Kategorie

In der Mathematik ist die Fukaya-Kategorie einer symplektischen Mannigfaltigkeit eine $A_{\mathrm{\infty }}$-Kategorie, die in der (von Kontsevich vermuteten) homologischen Spiegelsymmetrie verwendet wird. Sie ist benannt nach dem japanischen Mathematiker Kenji Fukaya.

Die Objekte der Fukaya-Kategorie sind die Lagrangeschen Untermannigfaltigkeiten $L$ der symplektischen Mannigfaltigkeit $M$, die Morphismen $Hom(L_0,L_1)=C{F}^{*}(L_0,L_1)$ sind (im Fall transversaler Schnitte) die Schnittpunkte $L_0\cap L_1$. Man hat weitere Abbildungen

$m_d:C{F}^{*}(L_{d-1},L_d)\otimes \dots C{F}_{*}(L_0,L_1)\to C{F}^{*}(L_0,L_d)$,

die die Axiome einer $A_{\mathrm{\infty }}$-Kategorie erfüllen. Insbesondere ist $m_1$ das Differential der Lagrangeschen Floer-Homologie und $m_2$ das Cup-Produkt. Definiert wird $m_d$ durch das Zählen von pseudoholomorphen Polygonen mit je $d+1$ in $L_0,\dots ,L_d$ abzubildenden Kanten.

Literatur

• K. Fukaya: Morse homotopy, $A_{\mathrm{\infty }}$ category and Floer homologies, MSRI preprint No. 020-94 (1993)
• M. Kontsevich: Homological algebra of mirror symmetry, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, 2 (Zürich, 1994), 120–139, Birkhäuser, Basel, 1995

Weblinks

• Fukaya category (nLab)
• D. Auroux: A beginners introduction to Fukaya categories