Freudenthalscher Einhängungssatz

Der Freudenthal'sche Einhängungssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie, er bildet eine Grundlage für die stabile Homotopietheorie.

Die Aussage ist die folgende:

Sei $n\ge 0$ und $X$ ein $n$-zusammenhängender CW-Komplex. Dann ist die von der Einhängung induzierte Abbildung

${\pi }_r(X)\to {\pi }_{r+1}(\mathrm{\Sigma }X)$

für $1\le r\le 2n$ ein Isomorphismus und für $r=2n+1$ surjektiv.

Für die stabilen Homotopiegruppen ${\pi }_{*}^s(X)$ folgt daraus, dass

${\pi }_r(X)\to {\pi }_r^s(X)$

für $1\le r\le 2n$ ein Isomorphismus und für $r=2n+1$ surjektiv ist.

Verallgemeinerung: Sei $n\ge 0$ und $X$ ein $n$-zusammenhängender CW-Komplex. Sei $Y$ ein endlicher CW-Komplex mit $H^q(Y)=0$ für $q>2n$. Dann ist

$[Y,X]\to [{\mathrm{\Sigma }}^{k}Y,{\mathrm{\Sigma }}^{k}X]$

für alle $k\ge 0$ eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen.

Literatur

• Robert M. Switzer: Algebraic Topology – Homology and Homotopy. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42750-3 (Classics in Mathematics).

Weblinks

• Tengren Zhang: Freudenthal Suspension Theorem