Freie Poisson-Verteilung

In der freien Wahrscheinlichkeitstheorie ist die freie Poisson-Verteilung das Gegenstück zu der Poisson-Verteilung aus der üblichen Wahrscheinlichkeitstheorie.

Definition

Die freie Poisson-Verteilung mit Parametern $\alpha$ und $\lambda$ ergibt sich in der freien Wahrscheinlichkeitstheorie als der Grenzwert der iterierten freien Faltung

${((1-\frac{\lambda }{N}){\delta }_0+\frac{\lambda }{N}{\delta }_{\alpha })}^{⊞N}$

für $N\to \mathrm{\infty }$.

Genauer: Seien $X_N$ Zufallsvariable, so dass $X_N$ den Wert $\alpha$ mit Wahrscheinlichkeit $\lambda /N$ und den Wert 0 mit der Wahrscheinlichkeit $1-\lambda /N$ annimmt. Sei weiterhin die Familie $X_1,X_2,\dots$ frei unabhängig im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie. Dann ist die Verteilung von $X_1+\cdots +X_N$ im Grenzwert $N\to \mathrm{\infty }$ durch eine freie Poisson-Verteilung mit den Parametern $\alpha$ und $\lambda$ gegeben.

Diese Definition ist analog zu einem entsprechenden Grenzwertsatz für die klassische Poisson-Verteilung bezüglich der klassischen Faltung.

Explizite Form

Explizit hat die freie Poisson-Verteilung folgende Form

$\mu =\{\begin{array}{cc}(1-\lambda ){\delta }_0+\nu ,& \text{wenn }0\le \lambda \le 1\\ \nu ,& \text{wenn }\lambda >1,\end{array}$

wobei

$\nu =\frac{1}{2\pi \alpha t}\sqrt{4\lambda {\alpha }^2-(t-\alpha (1+\lambda ){)}^2}dt$

den Träger $[\alpha (1-\sqrt{\lambda }{)}^2,\alpha (1+\sqrt{\lambda }{)}^2]$ hat. Ihre freien Kumulanten sind gegeben durch ${\kappa }_n=\lambda {\alpha }^n$.

Zusammenhang mit Zufallsmatrizen

Die freie Poisson-Verteilung taucht in der Theorie der Zufallsmatrizen als Marchenko-Pastur-Verteilung auf.