Fréchet-Metrik

Fréchet-Metrik (nach Maurice René Fréchet) ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Sie stellt eine Verbindung zwischen Metrik und Norm her.

Definition

Sei $V$ ein beliebiger reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Fréchet-Metrik ist eine Funktion $\varrho :V\to ℝ$, die für $x,y\in V$ folgende Bedingungen erfüllt:

1. $\varrho (x)=\varrho (-x)$
2. $\varrho (x)\ge 0$, wobei $\varrho (x)=0⟺x=0$
3. $\varrho (x+y)\le \varrho (x)+\varrho (y)$

Das heißt, $\varrho$ ist symmetrisch, nichtnegativ und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Beispiele

• Jede Norm $x\mapsto \Vert x\Vert$ auf $V$ ist eine Fréchet-Metrik, denn $\Vert \cdot \Vert$ erfüllt offensichtlich die Bedingungen (2) und (3). Die Gültigkeit von (1) folgt aus der Homogenität von Normen. Die Umkehrung gilt jedoch nicht: Beispielsweise ist für $V={ℝ}^n$ die Fréchet-Metrik
  $\varrho (x):=\frac{|x|}{1+|x|}$
  keine Norm, da sie nicht homogen ist.
• Ist $(p_k{)}_{k\in \mathbb{N}}$ eine abzählbare Familie von Halbnormen auf dem Vektorraum $V$ mit der Eigenschaft
  $p_k(x)=0$ für alle $k\in \mathbb{N}⟹x=0,$
  dann wird durch
  $\varrho (x)=\sum _{k\in \mathbb{N}}\frac{1}{2^k}\frac{p_k(x)}{1+p_k(x)}$
  eine Fréchet-Metrik definiert, die dieselbe Topologie erzeugt wie die Familie von Halbnormen.
• Die $L^p$-Räume für $0<p<1$ ausgestattet mit der Fréchet-Metrik
  ${\varrho }_p(f):=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\Vert f(x)\Vert }^p\mathrm{d}\mu (x)$
  sind Beispiele für im Allgemeinen nicht lokalkonvexe Räume.

Anwendungen

• Durch eine Fréchet-Metrik kann in einem Vektorraum eine Metrik definiert werden vermöge $d(x,y):=\varrho (x-y)$. Dass die so definierte Abbildung eine Metrik ist, folgt direkt aus der Definition der Fréchet-Metrik.
• Umgekehrt gilt: Jede Metrik $d$ auf einem Vektorraum, die translationsinvariant ist, d. h. $d(x+c,y+c)=d(x,y)$, entsteht durch genau eine solche Fréchet-Metrik.
• Ein (Hausdorffscher) topologischer Vektorraum besitzt genau dann eine Fréchet-Metrik, die seine Topologie erzeugt, wenn er erstabzählbar ist.
• Wenn ein (reeller oder komplexer) Vektorraum mit Fréchet-Metrik die zusätzlichen Eigenschaften hat, dass er vollständig ist und dass die Topologie dieses Vektorraums lokalkonvex ist, dann handelt es sich um einen Fréchet-Raum.

Literatur

• H. W. Alt: Lineare Funktionalanalysis. 4. Aufl., Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-43947-1.