Fixpunktsatz von Weissinger

Der Fixpunktsatz von Weissinger ist ein Fixpunktsatz in der Analysis. Er verallgemeinert den Fixpunktsatz von Banach.

Der Satz wurde von Johannes Weissinger 1952 aufgestellt und bewiesen.

Aussage

Sei $(ℬ,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum und $U\subset ℬ$ abgeschlossen und nichtleer sowie $T:U\to U$ eine Selbstabbildung, für die

$\Vert T^{j}u-T^{j}v\Vert \le {\alpha }_j\Vert u-v\Vert ,\mathrm{\forall }u,v\in U$

gilt mit Zahlen ${\alpha }_j\ge 0$, so dass ${\sum }_{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_j<\mathrm{\infty }$. Dann besitzt $T$ genau einen Fixpunkt in $U$, nämlich

$u=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{T}^n{u}_0$

mit einem beliebigen $u_0\in U$. Es gilt die Fehlerabschätzung

$\Vert u-u_n\Vert \le \sum _{j=n}^{\mathrm{\infty }}{\alpha }_j\Vert u_1-u_0\Vert$

mit $u_j=T^j{u}_0$.

Bemerkungen

• Die Bedingung $\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\Vert T^j\Vert <\mathrm{\infty }$ ist offenbar hinreichend, denn in diesem Fall kann man ${\alpha }_j=\Vert T^j\Vert$ wählen.
• Der Beweis dieses Fixpunktsatzes stimmt im Wesentlichen mit dem klassischen Beweis des Fixpunktsatzes von Banach überein. Der Fixpunktsatz von Banach folgt mit der Ersetzung ${\alpha }_j=k^j$ für ein konstantes $k$ als Lipschitz-Konstante der Abbildung $T$.
• Der Fixpunktsatz von Weissinger dient als Basis für Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise in der Theorie der Differentialgleichungen. Insbesondere folgt aus ihm der Satz von Picard-Lindelöf.