Filtrierter Kolimes

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein filtrierter Kolimes (auch direkter Limes oder induktiver Limes) ein spezieller Kolimes. Er kann in gewissen Fällen als Verallgemeinerung der Vereinigung betrachtet werden.

Elementare Definition (für teilgeordnete Indexmengen)

Die Indexmenge $(I,\le )$ sei eine feste gerichtete Menge.

Ein induktives System $(X_i,f_{ij})$ besteht aus Objekten (beispielsweise Mengen, Gruppen oder topologischen Räumen) $X_i$ für die Indizes $i\in I$ sowie Übergangsabbildungen

$f_{ij}:X_i\to X_j$ für $i\le j$,

die mit der jeweiligen Struktur verträglich sind (d. h. Mengenabbildungen, Gruppenhomomorphismen, stetige Abbildungen topologischer Räume) und folgende Bedingungen erfüllen

1. $f_{ii}={\mathrm{id}}_{X_i}$ für alle $i$ die identische Abbildung auf $X_i$ und
2. $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ für alle $i\le j\le k$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems $(X_i,f_{ij})$ ist ein Objekt ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}_n{X}_n$ zusammen mit Abbildungen

$u_i:X_i\to {\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}_n{X}_n$,

die mit den $f_{ij}$ kompatibel sind, d. h.

$u_i=u_j\circ f_{ij}$ für $i\le j$

mit der folgenden universellen Eigenschaft:

Kompatible Systeme von Abbildungen der $X_i$ in ein beliebiges Testobjekt $T$ entsprechen Abbildungen von ${\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}_n{X}_n$ nach $T$.

Das bedeutet: Wann immer Abbildungen $t_i:X_i\to T$ gegeben sind, für die

$t_i=t_j\circ f_{ij}$ für $i\le j$

gilt, gibt es eine eindeutige Abbildung

$c:{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}_n{X}_n\to T$,

von der die Abbildungen $t_i$ „herkommen“, d. h.

$t_i=c\circ u_i$.

Der induktive Limes eines induktiven Systems (X_i, f_i,j) von Mengen kann explizit konstruiert werden als eine Menge von Äquivalenzklassen

$\coprod _i{X}_i/\sim$

in der disjunkten Vereinigung $\coprod _i{X}_i$. Hierbei sollen Elemente $x\in X_i$ und $y\in X_j$ äquivalent sein, wenn ein $k\in I$ existiert, für das $f_{ik}(x)=f_{jk}(y)\in X_k$ gilt.