Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac) mit Index $j$ definiert als

$F_j(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^j}{\exp (t-x)+1}\mathrm{d}t$

wobei $\mathrm{\Gamma }(\cdot )$ die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

$F_j(x,b)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(j+1)}\underset{b}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{t^j}{\exp (t-x)+1}\mathrm{d}t$

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral $F_{1/2}(x)$ berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen $t:=\frac{E-E_c}{kT}$ sowie $x:=\frac{\mu -E_c}{kT}$, sodass $\mathrm{d}E=kT\mathrm{d}t$:

$n=N\underset{E_c}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{E-E_c}}{\exp \left(\frac{E-\mu }{kT}\right)+1}\mathrm{d}E=N{\left(kT\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\sqrt{t}}{\exp (t-x)+1}\mathrm{d}t=N{\left(kT\right)}^{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{\pi }}{2}{F}_{1/2}(x)$

Näherung für F_1/2

Das Integral $F_{1/2}(x)$ lässt sich für verschiedene Wertebereiche von $x$ näherungsweise lösen:

${\tilde{F}}_{1/2}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{e^{-x}+0,27}& \text{wenn }-\mathrm{\infty }<x<1,3\\ \frac{4}{3\sqrt{\pi }}{(x^2+\frac{{\pi }^2}{6})}^{3/4}& \text{wenn }1,3\le x<\mathrm{\infty }\end{array}$

Der relative Fehler dieser Näherungslösung $({\tilde{F}}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x))/F_{1/2}(x)$ beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei $x=0$ und bei $x=1,3$). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich $F_{1/2}(x)$ durch zwei Funktionen annähern:

$F_{1/2}(x)\approx e^x$   für   $-x\gg 1$

$F_{1/2}(x)\approx \frac{4}{3\sqrt{\pi }}{x}^{3/2}$   für   $x\gg 1$

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

${\mathrm{F}}_j(x)=-{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{j+1}(-e^x)$.

Wegen

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{L}\mathrm{i}}_n(x)=\frac{1}{x}{\mathrm{L}\mathrm{i}}_{n-1}(x)$

folgt daraus

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\mathrm{F}}_j(x)={\mathrm{F}}_{j-1}(x)$.

Weblinks

• GNU Scientific Library – Reference Manual

Literatur

• J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067–1076, 1982.