Faxén-Integral

In der Mathematik ist das Faxén-Integral (auch Faxén-Funktion) folgendes Integral^[1]

Fi (α, β; x) = \int_{0}^{\infty} \exp (- t + x t^{α}) t^{β - 1} d t, (0 \leq Re (α) < 1, Re (β) > 0) .

Das Integral ist nach dem schwedischen Physiker Olov Hilding Faxén benannt, der es 1921 in seiner Doktorarbeit publizierte.^[2]

n-dimensionales Faxén-Integral

Allgemeiner definiert man das $n$ -dimensionale Faxén-Integral als^[3]

I_{n} (x) = λ_{n} \int_{0}^{\infty} \dots \int_{0}^{\infty} t_{1}^{β_{1} - 1} \dots t_{n}^{β_{n} - 1} e^{- f (t_{1}, \dots, t_{n}; x)} d t_{1} \dots d t_{n},

mit

f (t_{1}, \dots, t_{n}; x) : = \sum_{j = 1}^{n} t_{j}^{μ_{j}} - x t_{1}^{α_{1}} \dots t_{n}^{α_{n}}

und

λ_{n} : = \prod_{j = 1}^{n} μ_{j}

für $x \in ℂ$ und

(0 < α_{i} < μ_{i}, Re (β_{i}) > 0, i = 1, \dots, n) .

Der Parameter $λ_{n}$ wurde nur aus rechnerischen Gründen eingeführt, man kann auch auf ihn verzichten.

Es gilt folgende Beziehung zur Gammafunktion

Für $α = β = \frac{1}{3}$ erhält man folgende Beziehung zur Scorer-Funktion

Fi (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}; x) = 3^{2 / 3} π Hi (3^{- 1 / 3} x) .

Für $x \to \infty$ haben wir folgende Entwicklungen^[4]

$Fi (α, β; - x) \sim \frac{Γ (β / α)}{α y^{β / α}},$
$Fi (α, β; x) \sim {(\frac{2 π}{1 - α})}^{1 / 2} (α x)^{(2 β - 1) / (2 - 2 α)} \exp ((1 - α) (α^{α} y)^{1 / (1 - α)}) .$