Extensive Abbildung

Extensivität bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ intensive (auch anti-extensive) Abbildungen Mengen.

Definition

Sei $(A,\le )$ eine teilweise geordnete Menge. Eine Abbildung

$f:A\to A$

heißt extensiv, falls gilt:

$a\le f(a)$ für alle $a\in A$.

Sie heißt intensiv, falls gilt:

$f(a)\le a$ für alle $a\in A$.

Beispiele

1. Auf $(A,\le )$ ist die Identität ${\mathrm{id}}_A:a\mapsto a$ extensiv und intensiv, da $a\le a$ immer gilt.
2. Definitionsgemäß sind Hüllenoperatoren extensiv und Kernoperatoren intensiv auf der Potenzmenge einer beliebigen Menge mit der mengentheoretischen Inklusion als Halbordnung.

Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser

Nach dem Fixpunktsatz von Bourbaki und Kneser besitzt jede extensive Abbildung $f:A\to A$ bereits dann einen Fixpunkt, falls $A$ streng induktiv geordnet ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des Auswahlaxioms das Lemma von Zorn beweisen.

Literatur

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• Serge Lang: Algebra. 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.