Exsymmedian

Dreieck $ABC$
Exsymmediane (rot): $e_a,e_b,e_c$
Symmediane (grün): $s_a,s_b,s_c$
Exsymmedian-Punkte (rot): $E_a,E_b,E_c$

Die Exsymmediane eines Dreiecks sind definiert als die Tangenten an dem Umkreis des Dreiecks in den Eckpunkten des Dreiecks. Diese drei Exsymmediane bilden ein neues Dreieck, dessen Eckpunkte als Exsymmedian-Punkte bezeichnet werden.

Durch die Exsymmedian-Punkte verläuft auch je ein Symmedian, das heißt zwei Exsymmediane und ein zugehöriger Symmedian schneiden in einem gemeinsamen Punkt. Genauer gilt für ein Dreieck $ABC$ mit Exsymmedianen $e_a,e_b,e_c$, Symmedianen $s_a,s_b,s_c$ und Exsymmedian-Punkten $E_a,E_b,E_c$:

$\begin{array}{cc}{E}_a& =e_b\cap e_c\cap s_a\\ E_b& =e_a\cap e_c\cap s_b\\ E_c& =e_a\cap e_b\cap s_c\end{array}$

Die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke zwischen einem Exsymmedian-Punkt und zugehöriger Dreiecksseite ist proportional zu dieser Dreiecksseite und es gelten die folgenden Formeln:

$\begin{array}{cc}{k}_a& =a\cdot \frac{2\mathrm{△}}{c^2+b^2-a^2}\\ k_b& =b\cdot \frac{2\mathrm{△}}{c^2+a^2-b^2}\\ k_c& =c\cdot \frac{2\mathrm{△}}{a^2+b^2-c^2}\end{array}$

Hierbei bezeichnen $\mathrm{△}$ die Fläche des Dreiecks $ABC$ und $k_a,k_b,k_c$ die senkrechten Verbindungsstrecken zwischen den Dreiecksseiten $a,b,c$ und den Exsymmedian-Punkten $E_a,E_b,E_c$.

Literatur

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 214–215 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry).