Eulersche Differentialgleichung

Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

$\sum _{k=0}^N{a}_k(cx+d{)}^k{y}^{(k)}(x)=b(x),cx+d>0$

zu gegebenen $N\in \mathbb{N},a_0,\dots ,a_N,c,d\in ℝ,c\ne 0$ und Inhomogenität $b$. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur $b\equiv 0$ betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation $z(t):=y\left(\frac{e^t-d}{c}\right)$ in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei $y$ eine genügend glatte Funktion und

$z(x):=y\left(\frac{e^x-d}{c}\right)$, also $y(x)=z(\ln (cx+d))$.

Dann gilt

$\begin{array}{ccc}{y}^{\prime }(x)& =& \frac{c}{cx+d}{z}^{\prime }(\ln (cx+d)),\\ y^{″}(x)& =& \frac{c^2}{(cx+d{)}^2}{z}^{″}(\ln (cx+d))-\frac{c^2}{(cx+d{)}^2}{z}^{\prime }(\ln (cx+d)),\end{array}$

also

$\begin{array}{ccc}(cx+d)y^{\prime }(x)& =& c\cdot z^{\prime }(\ln (cx+d)),\\ (cx+d{)}^2{y}^{″}(x)& =& c^2\cdot [z^{″}-z^{\prime }](\ln (cx+d)).\end{array}$

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

• Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung $(cx+d{)}^k{y}^{(k)}(x)$ in welche mit konstanten Koeffizienten?
• Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei $z$ Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$\sum _{k=0}^n{a}_k{c}^k\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(x)=0.$

Dann ist

$y(x):=z(\ln (cx+d))$

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

$\sum _{k=0}^N{a}_k(cx+d{)}^k{y}^{(k)}(x)=0,cx+d>0.$

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

$\left[\prod _{j=0}^{-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z=z,$

$\left[\prod _{j=0}^0(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z=(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-0)z=z^{\prime },$

$\left[\prod _{j=0}^1(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z=(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-0)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-1)z=(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{x}^2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})z=z^{″}-z^{\prime },$

$\left[\prod _{j=0}^2(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z=(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-0)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-1)(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-2)z=(\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{d}{x}^3}-3\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{d}{x}^2}+2\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x})z=z^{‴}-3z^{″}+2z^{\prime }.$

Beweis

Zu zeigen ist lediglich $c^k\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d))=(cx+d{)}^k{y}^{(k)}(x)$ für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang $k=0$ ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für $k_0\in {\mathbb{N}}_0$ kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

$(cx+d{)}^{k_0}{y}^{(k_0+1)}(x)+c{k}_0(cx+d{)}^{k_0-1}{y}^{(k_0)}(x)=\frac{c^{k_0+1}}{cx+d}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\prod _{j=0}^{k_0-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d)).$

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

$\begin{array}{ccc}(cx+d{)}^{k_0+1}{y}^{(k_0+1)}(x)& =& c^{k_0+1}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\prod _{j=0}^{k_0-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d))-c{k}_0(cx+d{)}^{k_0}{y}^{(k_0)}(x)\\ & =& c^{k_0+1}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\prod _{j=0}^{k_0-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ & & -c^{k_0+1}{k}_0\left(\left[\prod _{j=0}^{k_0-1}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d))\\ & =& c^{k_0+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_0}(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}-j)\right]z\right)(\ln (cx+d)).\end{array}$

$◻$

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von $z$ lautet

$\chi (\lambda )=\sum _{k=0}^n{a}_k{c}^k\prod _{j=0}^{k-1}(\lambda -j)=0.$

Bezeichnen nun ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_M$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms $\chi (\lambda )$ und $R_j$ die Vielfachheit von ${\lambda }_j$, so bildet

$\{z_{j,k}(x)=e^{{\lambda }_{j}x}{x}^k|j=1,\dots ,M,k=0,\dots ,R_j-1\}$

ein Fundamentalsystem der Gleichung für $z$. Also ist

$\{y_{j,k}(x)=(cx+d{)}^{{\lambda }_j}[\ln (cx+d){]}^k|j=1,\dots ,M,k=0,\dots ,R_j-1\}$

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

$a_2{x}^2{y}^{″}(x)+a_{1}x{y}^{\prime }(x)+a_{0}y(x)=0,a_2\ne 0,x>0.$

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

$a_2(z^{″}(x)-z^{\prime }(x))+a_1{z}^{\prime }(x)+a_{0}z(x)=0,$

also

$a_2{z}^{″}(x)+(a_1-a_2)z^{\prime }(x)+a_{0}z(x)=0.$

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

$\chi (\lambda )=a_2{\lambda }^2+(a_1-a_2)\lambda +a_0$

und besitzt die Nullstellen

${\lambda }_{1,2}=\frac{a_2-a_1}{2a_2}\pm \sqrt{\frac{(a_2-a_1{)}^2}{4a_2^2}-\frac{a_0}{a_2}}.$

Fall 1: ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$, beide reell.

Dann ist $\{e^{{\lambda }_{1}z},e^{{\lambda }_{2}z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\{x^{{\lambda }_1},x^{{\lambda }_2}\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: ${\lambda }_1={\lambda }_2$.

Dann ist $\lambda :=\frac{a_2-a_1}{2a_2}$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist $\{e^{\lambda z},z{e}^{\lambda z}\}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass $\{x^{\lambda },x^{\lambda }\ln x\}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ beide nicht reell.

Dann sind ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ komplex konjugiert zueinander. Also ist $\{e^{{\lambda }_{1}z},e^{{\lambda }_{2}z}\}$ ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei ${\lambda }_1=\mu +i\nu$, $\mu ,\nu \in ℝ$. Dann ist $\{e^{\mu z}\sin (\nu z),e^{\mu z}\cos (\nu z)\}$ ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert $\{x^{\mu }\sin (\nu \ln x),x^{\mu }\cos (\nu \ln x)\}$ als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

$◻$

Literatur

• Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Seite 240, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2