Erweiterungsprinzip in der Theorie der Fuzzymengen

Das Erweiterungsprinzip (engl. extension principle) in der Theorie der Fuzzymengen geht auf Lotfi Zadeh 1965 zurück.

Es ist der Versuch, klassische mathematische Konzepte zu „erweitern“, um dort mit Fuzzymengen arbeiten zu können. Im Kern ist das Erweiterungsprinzip nichts anderes als ein Fortpflanzungsprinzip von Unschärfe. Es beantwortet die Frage, welchen unscharfen Wert $B$ eine klassische Funktion $f$ hat, wenn das unscharfe Argument $A$ vorliegt, d. h. was versteht man unter $f(A)=B$?

Definitionen

Sei zunächst $f:ℝ\to ℝ$ eine einstellige reellwertige Funktion und $A$ eine Fuzzymenge auf $ℝ$ mit der Zugehörigkeitsfunktion $m_A$. Wenn $f$ eineindeutig ist, dann ergibt sich die Zugehörigkeitsfunktion $m_B$ für $B=f(A)$ einfach durch

$m_B(y)=m_A(f^{-1}(y))=m_A(x),y=f(x)$,

d. h. durch $y=f(x)$ wird der Zugehörigkeitswert $m_A(x)$ direkt in $m_B(y)$ übertragen. Der interessantere Fall ist, wenn $f$ nicht eineindeutig ist, d. h. wenn mehrere $x$ auf das gleiche $y$ führen können. Dann ist nach Zadeh

Erweiterungsprinzip für eine nicht eineindeutige Funktion: drei x-Werte führen auf dasselbe y

$m_B(y)=\underset{x\in ℝ:f(x)=y}{\sup }{m}_A(x)$

zu bilden, d. h. $m_B(y)$ ist gleich dem größtmöglichen Zugehörigkeitswert $m_A(x)$ mit $y=f(x)$. Ganz allgemein sei nun $f:{ℝ}^d\to ℝ$ eine mehrstellige reellwertige Funktion, d. h. $f(x_1,...,x_d)=y$ und $A_1,...,A_d$ seien die unscharfen Argumente. Dann ist der unscharfe Funktionswert $B$ definiert durch

$m_B(y)=\underset{(x_1,...,x_d)\in {ℝ}^d:f(x_1,...,x_d)=y}{\sup }\min [m_{A_1}(x_1),...,m_{A_d}(x_d)]$,

siehe z. B. Für $\min$ in der letzten Formel kann auch eine andere T-Norm benutzt werden.

Anwendungen

• Arithmetik mit Fuzzy-Zahlen: Das Erweiterungsprinzip, angewendet auf die Funktionen $f_1(x_1,x_2)=x_1+x_2,f_2(x_1,x_2)=x_1-x_2,f_3(x_1,x_2)=x_1{x}_2,f_4(x_1,x_2)=\frac{x_1}{x_2}$ definiert Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Fuzzy-Zahlen, siehe z. B.
• Kompatibilität von Fuzzymengen: Die Kompatibilität $C_B(A)$ einer Fuzzymenge $B$ mit der Fuzzymenge $A$ gibt den Grad an, mit dem das unscharfe Element $A$ zu $B$ gehört. Zu welchem Grad gehört beispielsweise eine etwa 30-jährige Frau zur Fuzzymenge der jungen Frauen? $C_B(A)$ ergibt sich, indem man das Erweiterungsprinzip auf die Funktion $f(x)=m_B(x)$ anwendet.
• Statistik mit unscharfen Daten: Sei $f(x_1,...,x_n)$ eine Stichprobenfunktion, z. B. eine Schätzfunktion oder eine Teststatistik. Das Erweiterungsprinzip, angewendet auf diese Stichprobenfunktion, führt zu einer Stichprobenfunktion für unscharfe Daten $A_1,...,A_n$, siehe z. B.