Erblicher Ring

In der Mathematik liefert die Länge einer projektiven Auflösung eines Moduls über einem Ring $R$ in einem gewissen Sinne ein Maß dafür, wie „kompliziert“ der Modul ist.

Ein Ring $R$ heißt erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Moduls projektiv ist. Das heißt, jede minimale projektive Auflösung eines Moduls stoppt bereits nach zwei Schritten.

Bei nicht-kommutativen Ringen unterscheidet man zwischen Links- und Rechtserblichkeit: Ein Ring $R$ heißt links-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Linksmoduls projektiv ist. Entsprechend heißt ein Ring $R$ rechts-erblich, wenn jeder Untermodul eines projektiven $R$-Rechtsmoduls projektiv ist. Es gibt Ringe, die links- aber nicht rechts-erblich sind, und umgekehrt (s. u.).

Beispiele

• Jeder Körper $K$ ist erblich, da alle $K$-Moduln (= $K$-Vektorräume) frei und damit projektiv sind.
• Jeder halbeinfache Ring ist erblich, da jeder Modul über dem Ring projektiv ist.
• Jeder Hauptidealring ist erblich, da hier projektive Moduln frei sind und Untermoduln freier Moduln ebenfalls frei sind.
• $\left(\begin{array}{cc}\mathbb{Q}& \mathbb{Q}\\ 0& \mathbb{Z}\end{array}\right):=\{\left(\begin{array}{cc}{a}_{1,1}& a_{1,2}\\ 0& a_{2,2}\end{array}\right)\in \mathrm{Mat}(2,\mathbb{Q})\mid a_{2,2}\in \mathbb{Z}\}$ ist links-erblich, aber nicht rechts-erblich.
• Jede Wegealgebra eines Köchers ist erblich.