Einfarbige Lösung

Im mathematischen Teilgebiet der diskreten Zahlentheorie insbesondere in der Ramsey-Theorie beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge $x_1\dots x_k\in [1,n]\subseteq \mathbb{N}$ gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung $f(x)$ zu erfüllen.

Definition

Sei $\chi$ eine $r$-Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und $f$ eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen $x_1\dots x_n$. $\chi$ besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter $f$, wenn Werte für $x_1\dots x_n$ existieren, die $f$ erfüllen und die gleiche Färbung unter $\chi$ besitzen.

Eigenschaften

• Obige Definition erlaubt die Darstellung $f:c_1{x}_1+\dots +c_{n-1}{x}_{n-1}=x_n$, wobei die $c_i$ beliebige Faktoren sein können.
• Spezialfälle von $f$ haben aufgrund ihrer Bedeutung einen Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen $x,y,z$ mit x + y = z Schur-Tripel.
• Für $n=3$ beschreibt $f$ eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von $w(3,r)$, der Zahl, für die es in der $r$-Färbung einer Zahlenmenge mit $w(3,r)$ Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als $\{a,a+d,a+2d\}$ schreiben. Wir wählen anschließend $x=a,y=a+2d$ und $z=a+d$. Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung $x+y=2z$ mit $x=y$, eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schur-Zahlen.