Einbettungssatz von Schoenberg

Der Einbettungssatz von Schoenberg ist ein Lehrsatz der Mathematik, der die möglichen Abstände für endliche Punktmengen im euklidischen Raum charakterisiert.

Satz

Sei $X$ ein endlicher metrischer Raum mit $n+1$ Punkten $x_0,\dots ,x_n$. Dann gibt es genau dann eine isometrische Einbettung von $X$ in den ${ℝ}^d$ mit der Standardmetrik, wenn seine Gram-Matrix positiv semi-definit ist und Rang höchstens $d$ hat. Dabei ist die Gram-Matrix definiert als die $n\times n$-Matrix, deren $(i,j)$-Eintrag $d(x_0,x_i{)}^2+d(x_0,x_j{)}^2-d(x_i,x_j{)}^2$ ist.

Literatur

• Isaac Jacob Schoenberg: Remarks to Maurice Frechet’s article “Sur la definition axiomatique d’une classe d’espaces vectoriels distancies applicables vectoriellement sur l’espace de Hilbert”. Ann. Math. (2) 36, 724–732 (1935).

Weblinks

• H. Maehara: Euclidean embeddings of finite metric spaces