Doppel-Hashing

Beim Doppelstreuwertverfahren oder Doppel-Hashing (Vorlage:EnS) handelt es sich um eine Methode zur Realisierung eines geschlossenen Hash-Verfahrens. In geschlossenen Hash-Verfahren wird versucht, Überläufer in der Hash-Tabelle unterzubringen, anstatt sie innerhalb der Zelle (z. B. als Liste) zu speichern. (Offene Hash-Verfahren können Einträge doppelt belegen und benötigen daher keine Sondierung.) Achtung: Wie es im Artikel Hashtabelle unter „Varianten des Hashverfahrens“ steht, werden die Bezeichnungen „offenes“ bzw. „geschlossenes Hashing“ auch in genau umgekehrter Bedeutung verwendet.

Um dies umzusetzen, verwendet man beim Doppel-Hashing eine Sondierungsfunktion, die eine sekundäre Hash-Funktion beinhaltet, z. B. $s(j,k):=j\cdot h^{\prime }(k)$, und die angewendet wird, falls der durch die primäre Hash-Funktion $h(k)$ berechnete Index bereits besetzt ist.

Die vollständige Hash-Funktion lautet dann: $h(k)-s(j,k)$, wobei j die Anzahl bereits „ausprobierter“ Indizes ist, d. h., dass j jedes Mal um 1 erhöht wird, wenn ein Index bereits belegt ist.

Die Sondierungsfunktion $s(j,k)$ soll dabei eine Permutation der Indizes der Hash-Tabelle bilden.

Die Folge von Hash-Funktionen, die nun mittels $h$ und $h^{\prime }$ gebildet werden, sieht so aus:

$h_j(k)=(h(k)+h^{\prime }(k)\cdot j)modm$

Die Kosten für diese Methode sind nahe den Kosten für ein ideales Hashing.

Unabhängigkeit der Hashfunktionen

Beim Doppel-Hashing werden zwei unabhängige Hash-Funktionen $h$ und $h^{\prime }$ angewandt. Diese heißen unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für eine sogenannte Doppelkollision, d. h. $h(k)=h(y)\wedge h^{\prime }(k)=h^{\prime }(y)$, kleiner gleich $1/m^2$ und damit minimal ist, wobei $m$ die Größe des Arrays ist.

Beispiele

Beispielfunktionen

Größe des Arrays: m

Indizes: {0; m-1}

Primäre Hash-Funktion: $h(k):=kmodm$ (Divisions-Rest-Methode)

Sekundäre Hash-Funktion: $h^{\prime }(k):=kmod(m-2)+1$

Sondierungsfunktion: $s(j,k):=j\cdot (kmod(m-2)+1)$

Vollständige Doppel-Hash-Funktion: $h_j(k):=(kmodm+j\cdot (kmod(m-2)+1))modm$

Berechnungsbeispiel

Größe des Arrays: m = 7

Hashfunktionen

$h(k):=kmod7$

$h^{\prime }(k):=kmod5+1$

Sondierungsfunktion

$h_j(k):=(h(k)+j\cdot h^{\prime }(k))modm$

Hashtabelle:

k	10	19	31	22	14	16
h	3	5	3	1	0	2
h'	1	5	2	3	5	2

Das mit Hilfe von Hashtabelle und Sondierungsfunktion gefüllte Array:

0	1	2	3	4	5	6
31	22	16	10	-	19	14

Erklärung am Beispiel $k=31$:

$k=10$ sowie $k=19$ erzeugen keine Kollision und benötigen deshalb nicht die Doppel-Hash-Funktion $h_j$. Der Index der Hash-Funktion $h$ kann hier abgelesen werden. $k=31$ erzeugt eine Kollision im Array an der Stelle $3$ , weshalb man nun die Doppel-Hash-Funktion $h_j$ mit $j=1$:

$h_1(31)=(h(31)+1\cdot h^{\prime }(31))mod7\equiv (3+1\cdot 2)mod7\equiv 5mod7\equiv 5$

Die Stelle $5$ erzeugt wieder eine Kollision, weshalb $h_j$ nun mit $j=2$ aufgerufen wird:

$h_2(31)=(h(31)+2\cdot h^{\prime }(31))mod7\equiv (3+2\cdot 2)mod7\equiv 7mod7\equiv 0$

Die Stelle $0$ ist frei und erhält somit den Inhalt $31$.

Weblinks

• Geschlossenes Hashing
• Offenes Hashing