Doob-Zerlegung

Der Satz über die Doob-Zerlegung, benannt nach dem US-amerikanischen Mathematiker Joseph L. Doob, ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Aussage über die Darstellung eines stochastischen Prozesses als Martingal. Er besagt, dass sich ein stochastischer Prozess in einen Martingalteil $M$ und einen vorhersagbaren Anteil $A$ (auch Kompensator genannt) zerlegen lässt. $A$ lässt sich als Drift des Prozesses interpretieren und $M$ als die aufaddierten (unsystematischen) Schwankungen um die Drift. Anwendung ist beispielsweise die Darstellung des quadratischen Variationsprozesses in diskreter Zeit.

Das Analogon in stetiger Zeit ist die Doob-Meyer-Zerlegung.

Aussage

Seien $(\mathrm{\Omega },𝒜,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $ℱ=({ℱ}_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Filtrierung. Jeder an $ℱ$ adaptierte und integrierbare stochastische Prozess $(X_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ ist dann darstellbar als $X=M+A$, wobei $M$ ein Martingal und $A$ vorhersagbar ist, d. h., es gilt: $A_{n+1}$ ist ${ℱ}_n$-messbar für alle $n\in \mathbb{N}$. Mit der Festsetzung $A_0=0$ ist diese Zerlegung eindeutig. Weiter ist $A$ genau dann monoton wachsend, wenn $X$ ein Submartingal ist.

Beweis

Definiert man für $n\in \mathbb{N}$

• $M_n:=X_0+\sum _{k=1}^n(X_k-𝔼[X_k\mid {ℱ}_{k-1}])$ und
• $A_n:=\sum _{k=1}^n(𝔼[X_k\mid {ℱ}_{k-1}]-X_{k-1}),$

dann gilt $X_n=M_n+A_n$. Die Martingaleigenschaft von $M$ und Vorhersagbarkeit von $A$ folgen direkt aus der Definition.

Die Eindeutigkeit folgt aus der Tatsache, dass für eine weitere derartige Zerlegung $X=M^{\prime }+A^{\prime }$ der Prozess $M-M^{\prime }=A^{\prime }-A$ sowohl vorhersagbar als auch ein Martingal ist. Dies ist aber nur möglich, wenn er konstant ist.

Falls $X$ ein Submartingal ist, dann sind alle Summanden von $A_n$ größer oder gleich 0, also ist $A$ ein monoton wachsender Prozess.

Literatur

• J. L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, 1953, ISBN 978-0471218135
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8