Doob-Dynkin-Lemma

Das Doob-Dynkin-Lemma ist eine nach den Mathematikern Joseph L. Doob und Eugene Dynkin benannte Aussage aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, die eine funktionale Beziehung zwischen zwei Zufallsgrößen herstellt.

Seien $X$ und $Y$ zwei Abbildungen $Ω \to ℝ^{n}$ . In Anwendungen ist $Ω$ in der Regel ein Wahrscheinlichkeitsraum und $X$ und $Y$ sind darauf definierte Zufallsgrößen. In der Wahrscheinlichkeitstheorie stellt sich die Frage, wann man $Y$ bereits aus $X$ berechnen kann, das heißt, wann es eine Borel-messbare Funktion $h : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ gibt, so dass $Y = h \circ X$ .

Ist nun $𝒜$ eine σ-Algebra auf $Ω$ und ist $X$ $𝒜$ -messbar, so ergibt sich als notwendige Bedingung für die Existenz einer messbaren Funktion $h : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ mit $Y = h \circ X$ , dass auch $Y$ $𝒜$ -messbar sein muss, denn die Verkettung messbarer Funktionen ist wieder messbar. Diese Bedingung ist am stärksten, wenn man $𝒜$ so klein wie möglich wählt, das heißt wenn

$𝒜 = σ (X) : = {X^{- 1} (B); B \subset ℝ^{n} B o r e l m e n g e}$ ,

die sogenannte von $X$ erzeugte σ-Algebra ist. Dass diese Bedingung dann sogar hinreichend ist, besagt gerade das

Doob-Dynkin-Lemma: Für zwei Abbildungen $X, Y : Ω \to ℝ^{n}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

Es gibt eine Borel-messbare Funktion $h : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ mit $Y = h \circ X$ .
$Y$ ist $σ (X)$ -messbar.

Dadurch wird verständlich, dass man σ-Algebren als Träger wahrscheinlichkeitstheoretischer Informationen ansieht. Ist $Y$ bezüglich der von $X$ erzeugten σ-Algebra messbar, so kann $Y$ keine Information enthalten, die nicht bereits in $X$ steckt, wie durch die erste Aussage präzisiert wird.

Quellen

A. Bobrowski: Functional analysis for probability and stochastic processes: an introduction, Cambridge University Press (2005), ISBN 0-521-83166-0
M. M. Rao, R. J. Swift: Probability Theory with Applications, Mathematics and Its Applications, Band 582, Springer-Verlag (2006), ISBN 0-387-27730-7

Doob-Dynkin-Lemma

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