Dirichletscher Approximationssatz

Der dirichletsche Approximationssatz, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, ist ein mathematischer Satz über die Qualität der Approximation (Annäherung) reeller Zahlen durch rationale Zahlen.

Der Satz lautet: Zu jedem $\alpha \in ℝ$ und jedem $N\in \mathbb{N}$ existieren ein $q\in \mathbb{N},1\le q\le N$ und ein $p\in \mathbb{Z}$, so dass

$|q\alpha -p|\le \frac{1}{N+1}.$

Dieser Satz kann mithilfe des Schubfachprinzips bewiesen werden.

Aus dem Satz folgt nach Division durch $q$ und Beachtung von $q<N+1$, dass es zu jedem reellen $\alpha$ unendlich viele Paare $(p,q)$ ganzer Zahlen gibt, die

$|\alpha -\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^2}$

erfüllen. Für rationale Zahlen $\alpha =\frac{a}{b}$ haben fast alle solche Approximationen die Form $p=ka,q=kb$, interessant ist die Unendlichkeitsaussage also nur für irrationale Zahlen. Der Satz von Hurwitz verbessert die Ungleichung noch um den Faktor $\sqrt{5}$.

Beispiel: Sei $\alpha =\sqrt{2}$ und $N=10$. Dann ist nach dem dirichletschen Approximationssatz (mindestens) eine der Zahlen $\sqrt{2},2\sqrt{2},\dots ,10\sqrt{2}$ um höchstens $1/11$ von einer ganzen Zahl entfernt. Tatsächlich ist

$|5\sqrt{2}-7|=|7,07106\dots -7|=0.07106\dots \le 0.090909\dots =\frac{1}{11}.$

Literatur

• Hans Rademacher, Otto Toeplitz: Von Zahlen und Figuren, Kapitel 15: „Annäherung irrationaler Zahlen durch rationale“, Springer 1930 und zahlreiche Neuauflagen.