Dirichlet-Bedingung

Vorlage:Dieser Artikel Die Dirichlet-Bedingung, auch Satz von Dirichlet genannt, ist nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet benannt und gibt an, wann die Fourierreihe punktweise gegen die Ausgangsfunktion konvergiert.

Aussage

Sei $f$ eine im Intervall $[-T/2,T/2]$ definierte Funktion, die folgende Eigenschaften erfüllt:

1. Das Intervall $[-T/2,T/2]$ lässt sich in endlich viele Teilintervalle zerlegen, in denen $f$ stetig und monoton ist.
2. Die (endlich vielen) Unstetigkeitsstellen sind alle von 1. Art, das heißt, es existieren rechts- und linksseitiger Grenzwert, $f(t_0+)$ und $f(t_0-)$.

Dann konvergiert die Fourierreihe in jedem $t\in [-T/2,T/2]$ gegen

$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cdot \cos (n\omega t)+b_n\cdot \sin (n\omega t))=\{\begin{array}{cc}f(t),& \text{wenn }f\text{ in t stetig}\\ (f(t+)+f(t-))/2,& \text{wenn }f\text{ in t unstetig}\end{array}$.

Quellen

• Konrad Königsberger: Analysis 2. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, 2000, ISBN 3-540-43580-8.