Dedekindsche Psi-Funktion

Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{Z}}^{+}:\psi (n)=n\cdot \prod _{\genfrac{}{}{0ex}{}{p|n}{p\in \mathbb{P}}}(1+\frac{1}{p})$

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von $n.$

Werte

Nach Definition des leeren Produkts ist

$\psi (1)=1.$

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

$\psi (2)=2(1+\frac{1}{2})=3$

$\psi (3)=3(1+\frac{1}{3})=4$

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….

Eigenschaften

• Die $\psi$-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen $n$ ist $\psi (n)$ größer als $n$ und gerade:

$\psi (n)>n\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n>1$

$\psi (n)\equiv 0mod2\mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{e}n>2$

• Für Primzahlen $p$ gilt:

$\psi (p)=p+1=\phi (p)+2$

Dabei ist $\phi$ die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl $n$ die Anzahl $\phi (n)$ der zu $n$ teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als $n$ sind.

• Die $\psi$-Funktion kann auch durch

$\psi (p^k)=(p+1)\cdot p^{k-1}$

für Potenzen von Primzahlen $p$ mit positiven natürlichen Hochzahlen $k$ und der Festlegung, dass $\psi$ multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert $\psi (n)$ für ein beliebiges $n$ ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von $n.$

• Mit der Riemannschen Zeta-Funktion $\zeta$ gilt:

$\sum _n\frac{\psi (n)}{n^s}=\frac{\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}$

Weblinks

• Vorlage:MathWorld
• J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.