Datei:Sphere eversion topological event Q.webm
Beschreibung
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English: In a sphere eversion, certain topological events occur. These topological events describe changes in the topology of the self-intersection curves of the sphere during the eversion. The topological event Q describes the appearance and disappearance of a quadruple point between four different parts of the deformed sphere. The four different parts of the deformed sphere intersect transversally as a whole. If the four parts of the sphere intersect each other in pairs, there are six self-intersection curves that intersect in four triple points. The four sphere parts, six self-intersection curves, and four triple points form a tetrahedron. Moving the sphere parts towards each other moves the four triple points towards each other until they meet in a single quadruple point. At the same time, the tetrahedron becomes progressively smaller until it collapses into the quadruple point. By continuing the motion in the original directions, the quadruple point splits into four triple points again. The tetrahedron also reappears, but its former inside is now on the outside and vice versa.
In the video, the four different parts of the deformed sphere are visualized by topological disks that have the shape of a plane. The video shows the planes moving past each other. In the first part of the video, the green plane moves upward, the orange plane backward, and the magenta and cyan planes sideways. The tetrahedron that is visible in the middle of the figure shrinks until four triple points at the corners of the tetrahedron collapse into the quadruple point. After that, an inverted tetrahedron reappears. The direction of movement of the planes reverses in the second part of the video, which reverses the topological change. The entire sequence is repeated a second time in the video. The four different parts of the sphere are displayed as transparent surfaces in magenta, cyan, orange, and green. To emphasize the self-intersection curves, they are displayed as a white tubes. To emphasize the triple points and the quadruple point, they are displayed as a white tubes. The terminology Q for this topological event is described in the following articles:
Deutsch: Bei der Umstülpung der Sphäre treten bestimmte topologische Ereignisse auf. Diese topologischen Ereignisse beschreiben Veränderungen der Topologie der Selbstdurchdringungskurven der Sphäre während der Umstülpung. Das topologische Ereignis Q beschreibt das Entstehen und Verschwinden eines Vierfachpunktes zwischen vier verschiedenen Teilen der deformierten Sphäre. Die vier verschiedenen Teile der Sphäre durchdringen sich als Ganzes transversal. Wenn sich vier Teile der Sphäre gegenseitig in Paaren durchdringen, ergeben sich sechs Selbstdurchdringungskurven, die sich in vier Dreifachpunkten schneiden. Die vier Teile der Sphäre, die sechs Selbstdurchdringungskurven und die vier Dreifachpunkte formen einen Tetraeder. Wenn die Teile der Sphäre aufeinander zu bewegt werden, bewegen sich die vier Dreifachpunkte aufeinander zu, bis sie sich in einem Vierfachpunkt treffen. Gleichzeitig wird der Tetraeder immer kleiner, bis er in den Vierfachpunkt zusammenfällt. Wenn die Bewegung in die ursprünglichen Richtungen fortgesetzt wird, spaltet sich der Vierfachpunkt wieder in vier Dreifachpunkte auf. Auch der Tetraeder entsteht wieder, allerdings ist seine frühere Innenseite nun außen und umgekehrt.
Im Video werden die vier Teile der deformierten Sphäre als topologische Kreisscheiben in der Form von Ebenen visualisiert. Das Video zeigt, wie sich die Ebenen gegeneinander bewegen. Im ersten Teil des Videos bewegt sich die grüne Ebene nach oben, die orangefarbene Ebene nach hinten und die magentafarbene und grüne Ebene seitwärts. Der Tetraeder, der in der Mitte der Figur sichtbar ist, schrumpft, bis die vier Dreifachpunkte an den Ecken des Tetraeders in den Vierfachpunkt zusammenfallen. Danach erscheint der invertierte Tetraeder. Die Bewegungsrichtungen der Ebenen werden im zweiten Teil des Videos umgekehrt, wodurch die Änderung der Topologie in umgekehrter Richtung auftritt. Die gesamte Sequenz wird im Video ein zweites Mal wiederholt. Die vier verschiedenen Teile der Sphäre werden als transparente Oberflächen in Magenta, Cyan, Orange und Grün dargestellt. Um die Selbstdurchdringungskurven hervorzuheben, werden sie als weiße Röhren dargestellt. Um die Dreifachpunkte und den Vierfachpunkt hervorzuheben, werden sie als weiße Kugeln dargestellt. Die Terminologie Q für dieses topologische Ereignis wird in den folgenden Artikeln beschrieben:
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| Quelle | Eigenes Werk |
| Urheber | Carsten Steger |
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| aktuell | 12:15, 12. Feb. 2022 | (1,72 MB) | wikimediacommons>Carsten Steger | Uploaded own work with UploadWizard |
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