Danielewski-Fläche

In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes ${ℂ}^2$ dar und hat aus Sicht der komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie ${ℂ}^2$.

Definition

Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche $S\subset {ℂ}^3$, die als Nullstellenmenge eines Polynoms $x^n\cdot y-p(z)\in ℂ[x,y,z]$ definiert ist, wobei $p\in ℂ[z]$ ein Polynom in einer Variablen ist.

Elementare Eigenschaften

• Im Spezialfall $n=1,p(z)=z$ ist $S=\{(x,y,z)\in {ℂ}^3:x\cdot y=z\}$ isomorph zu ${ℂ}^2$.
• Genau dann, wenn das Polynom $p$ nur einfache Nullstellen hat, ist $S$ nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
• Sei $p(z)=(z-a_1)\cdot (z-a_2)\cdots (z-a_m)$ mit paarweise verschiedenen $a_i,a_j$. Dann gilt:

$S=\{(x,p(z)/x^n,z)\in {ℂ}^3,x\ne 0\}\dot{\cup }\{x=0,z=a_1\}\dot{\cup }\dots \dot{\cup }\{x=0,z=a_m\}$

d. h. $S$ besteht im Prinzip aus ${ℂ}^{*}\times ℂ$ und $m$ Kopien von $ℂ$, die daran angeklebt sind.

Automorphismengruppe

Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall ${ℂ}^2$, das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von ${ℂ}^2$ lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.

Weblinks

• Automorphisms of Danielewski surfaces (pdf, engl.)