Crofton-Formel

Die Crofton-Formel (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.

Definition

Die durch $\phi ,p$ definierte Gerade schneidet $\gamma$ zweimal, d. h. $n_{\gamma }(\phi ,p)=2$.

Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge $s(\gamma )$ einer ebenen Kurve $\gamma$ durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte $n_{\gamma }$ mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei $p$ (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei $\phi$ (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist $dpd\phi$ ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). $n_{\gamma }$ sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch $p,\phi$ parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:

$s(\gamma )=\frac{1}{2}\int \int n_{\gamma }(\phi ,p)d\phi dp$

Schätzung

Anwendung der Crofton-Formel mit zufälligen Linien

Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen $\phi ,p$ gleichverteilt im Volumen $V=2\pi h$. $\tilde{p}=\frac{1}{V}$ sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen $s(\gamma )=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{n}_{\gamma }(\phi ,p)d\phi dp\underset{1}{\underbrace{\frac{V}{V}}}=\frac{V}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{-h/2}{\overset{h/2}{\int }}{n}_{\gamma }(\phi ,p)\tilde{p}(\phi ,p)d\phi dp=\frac{V}{2}{E}_{(\phi ,p)\sim \tilde{p}}[n_{\gamma }(\phi ,p)]$ gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen

$\hat{s}(\gamma )=\frac{V}{2N}\sum _{i=1}^N{n}_{\gamma }({\phi }_i,p_i),$

wobei $N$ die Zahl der gezogenen Stichproben $({\phi }_i,p_i)$ aus dem Volumen $V$ sind.

Beispiel

Gerade entlang der x-Achse

Für festes $\phi$ schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke $[-\frac{L}{2},+\frac{L}{2}]$, d. h. es muss $0\le p\le |\cos (\phi )|\frac{L}{2}$ sein.

Die Formel kann plausibel gemacht werden, wenn man als Beispiel für $\gamma$ eine Linie der Länge $L$ auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:

$s(\gamma )=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{|\cos (\phi )|\frac{L}{2}}{\int }}{n}_{\gamma }(\phi ,p)dpd\phi =\frac{L}{4}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}|\cos (\phi )|d\phi =\frac{L}{4}4=L$.

Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.

Einheitskreisline

Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie $\gamma$. Zu jedem $\phi \in [0,2\pi ]$ schneidet die Gerade mit Abstand $p$ die Kreislinie genau für $0\le p\le 1$ und zwar zweimal für $0\le p<1$. Daher ist

$s(\gamma )=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{n}_{\gamma }(\phi ,p)dpd\phi =\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}2dpd\phi =\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\pi =2\pi$,

was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.