Charaktervarietät

In der Mathematik sind Charaktervarietäten ein wichtiges Hilfsmittel in Gruppentheorie, Topologie und Geometrie.

Definition

Es sei $\mathrm{\Gamma }$ eine endlich erzeugte Gruppe, $G$ eine Lie-Gruppe und

$Hom(\mathrm{\Gamma },G)$

die Darstellungsvarietät. Die Gruppe $G$ wirkt auf $Hom(\mathrm{\Gamma },G)$ durch Konjugation, d. h. für $g\in G,\rho \in Hom(\mathrm{\Gamma },G)$ und $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ ist

$g.\rho (\gamma ):=g\rho (\gamma )g^{-1}$.

Der Quotientenraum $Hom(\mathrm{\Gamma },G)/G$ ist im Allgemeinen keine algebraische Menge. Man benutzt deshalb Geometrische Invariantentheorie und betrachtet den GIT-Quotienten

$X(\mathrm{\Gamma },G):=Hom(\mathrm{\Gamma },G)//G$.

Sein Koordinatenring ist per Definition des GIT-Quotienten isomorph zu

$ℂ{[Hom(\mathrm{\Gamma },G)]}^G\subset ℂ[Hom(\mathrm{\Gamma },G)]$,

dem Unterring der unter Konjugation mit Elementen $G$ invarianten Funktionen aus dem Koordinatenring $ℂ[Hom(\mathrm{\Gamma },G)]$.

Koordinatenring

Wenn $G$ eine reduktive Gruppe ist, dann ist der Koordinatenring $ℂ{[Hom(\mathrm{\Gamma },G)]}^G$ endlich erzeugt (Satz von Nagata), der GIT-Quotient $X(\mathrm{\Gamma },G)$ also eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Für $G=SL(n,ℂ)$ wird der Koordinatenring

$ℂ{[Hom(\mathrm{\Gamma },SL(n,ℂ))]}^{SL(n,ℂ)}$

von den Spurfunktionen

$I_{\rho }:\rho \to Spur(\rho (\gamma )$

für $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ erzeugt, die Punkte der Charaktervarietät entsprechen also den Charakteren von $\mathrm{\Gamma }$, was auch die Namensgebung erklärt.

Explizite Beschreibung

Man bezeichne mit

$Hom(\mathrm{\Gamma },G{)}^{*}\subset Hom(\mathrm{\Gamma },G)$

die Vereinigung aller abgeschlossenen Orbiten der $G$-Wirkung. Dies ist eine abgeschlossene Teilmenge und der Quotientenraum

$X(\mathrm{\Gamma },G):=Hom(\mathrm{\Gamma },G{)}^{*}/G$

ist ein Hausdorff-Raum. Er wird als Charaktervarietät bezeichnet, obwohl er im Allgemeinen keine algebraische Varietät sein muss. Im Fall komplexer reduktiver Gruppen stimmt diese Definition mit der obigen Definition als GIT-Quotient überein.

Für $G=SL(n,ℂ)$ ist ein Orbit der $G$-Wirkung genau dann abgeschlossen, wenn die entsprechenden Darstellungen halbeinfach sind. Bekanntlich sind halbeinfache Darstellungen genau dann konjugiert, wenn sie identische Charaktere haben.

Grundlegende Eigenschaften

• Wenn $G$ kompakt ist, dann ist $Ho{m}^{*}(\mathrm{\Gamma },G)=Hom(\mathrm{\Gamma },G)$ und $X(\mathrm{\Gamma },G)=Hom(\mathrm{\Gamma },G)/G$.
• Wenn $G$ eine reelle algebraische Gruppe ist, dann ist $X(\mathrm{\Gamma },G)$ eine semialgebraische Menge.
• Wenn $G$ eine komplexe reduktive Gruppe ist, dann ist $X(\mathrm{\Gamma },G)$ eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Beispiele

• Für die Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist $X(\mathbb{Z},S{U}_2)\cong [-2,2]$ keine Varietät.
• Satz von Fricke-Vogt: Für die freie Gruppe $F_2$ mit zwei Erzeugern $X,Y$ ist

$X(F_2,S{L}_2ℂ)\cong {ℂ}^3$

parametrisiert durch die Spuren $Tr(\rho (X)),Tr(\rho (Y)),Tr(\rho (XY))$.

• $X(\mathbb{Z},S{L}_3ℂ)$ ist isomorph zu ${ℂ}^2$, der Isomorphismus bildet die Äquivalenzklasse einer Darstellung $\rho$ auf $(Tr(\rho (1)),Tr(\rho (1{)}^{-1})\in {ℂ}^2$ ab.
• $X(F_2,S{L}_3ℂ)$ ist eine verzweigte 2-fache Überlegerung von ${ℂ}^8$, sie wird von den Spuren $Tr(\rho (X^{\pm 1})),Tr(\rho (Y^{\pm 1})),Tr(\rho (X^{\pm 1}{Y}^{\pm 1}))$ und $Tr(\rho ([X,Y]))$ parametrisiert, wobei $Tr(\rho ([X,Y]))$ mit den acht anderen Parametern durch ein quadratisches Polynom zusammenhängt.
• Für die Knotengruppe $\mathrm{\Gamma }$ eines hyperbolischen Knotens ist die den Charakter der hyperbolischen Monodromie enthaltende Komponente von $X(\mathrm{\Gamma },S{L}_2ℂ)$ eine komplexe Kurve, d. h. komplex 1-dimensional.
• Für die Knotengruppe des Acherknotens besteht $X(\mathrm{\Gamma },S{L}_2ℂ)$ aus zwei Komponenten: die eine enthält die hyperbolische Monodromie, die andere besteht nur aus reduziblen Darstellungen.

Literatur

• Alexander Lubotzky, Andy Magid: Varieties of representations of finitely generated groups. Mem. Amer. Math. Soc. 58 (1985), no. 336
• Igor Dolgachev: Lectures on invariant theory. London Mathematical Society Lecture Note Series, 296. Cambridge University Press, Cambridge, 2003. ISBN 0-521-52548-9
• Adam Sikora: SL_n-character varieties as spaces of graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), no. 7, 2773–2804. online (pdf)
• Adam Sikora: Character varieties. Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), no. 10, 5173–5208. online (PDF; 441 kB)