Brieskorn-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man als Brieskorn-Mannigfaltigkeit $\mathrm{\Sigma }(k_1,\dots ,k_n)$ die $(2n-3)$-dimensionale Mannigfaltigkeit, die als Schnittmenge der im ${ℂ}^n$ durch die Gleichung

$z_1^{k_1}+\dots +z_n^{k_n}=0$ (mit ganzen Zahlen $k_1,\dots ,k_n\ge 2$)

gegebenen Hyperfläche mit einer durch die Gleichung

$|z_1{|}^2+\dots +|z_n{|}^2=ϵ$ (für ein kleines $ϵ>0$)

gegebenen $ϵ$-Sphäre um den Nullpunkt (die Singularität der Hyperfläche) gegeben ist.

Brieskorn-Mannigfaltigkeiten sind $(n-3)$-zusammenhängend, für $n\ge 4$ sind sie also genau dann homöomorph zur $S^{2n-3}$, wenn sie eine Homologiesphäre sind. Man spricht dann von Brieskorn-Sphären. Brieskorn gibt eine notwendige und hinreichende Bedingung, wann eine Brieskorn-Mannigfaltigkeit eine Homologiesphäre und damit eine Sphäre ist. Andererseits hat Milnor gezeigt, dass zahlreiche Brieskorn-Sphären nicht diffeomorph zur $S^{2n-3}$ sind. Zum Beispiel gibt $\mathrm{\Sigma }(2,2,2,3,6k-1)$ für $k=1,\dots ,28$ die 28 Differentialstrukturen auf der $S^7$.

Für $n=3$ sind die Brieskorn-Sphären $\mathrm{\Sigma }(p,q,r)$ Homologiesphären, aber im Allgemeinen keine Sphären. Zum Beispiel ist $\mathrm{\Sigma }(2,3,5)$ die Poincaré-Homologiesphäre.