Breusch-Pagan-Test

Der Breusch-Pagan-Test und sein Spezialfall, der White-Test, sind statistische Tests zur Prüfung von Heteroskedastizität. Sie werden insbesondere zur Überprüfung der Voraussetzung der Homoskedastizitätsannahme in der Regressionsanalyse eingesetzt.

Breusch-Pagan-Test

Betrachtet man das (multiple) lineare Modell $Y_t={\beta }_0+\sum _{j=1}^p{\beta }_j{x}_{tj}+U_t$ mit normalverteilten Fehlern $U_t\sim 𝒩(0;{\sigma }_t^2)$. Dann wird die Fehlervarianz als

${\sigma }_t^2=h({\alpha }_0+\sum _{k=1}^q{\alpha }_k{z}_{kt})$

modelliert. Liegt Homoskedastizität (${\sigma }_t^2={\sigma }_U^2$) vor, dann müssen die Koeffizienten ${\alpha }_k$ bis auf den konstanten Term Null sein.

Damit ergeben sich die Hypothesen als

$H_0:{\alpha }_k=0$ für alle $k=1,\dots ,q$ vs.

$H_1:{\alpha }_k\ne 0$ für mindestens ein $k$.

Die Teststatistik ergibt sich als Score- oder Lagrange-Multiplikator-Test in Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode und ist damit ${\chi }_q^2$-verteilt.

In der Praxis müssen die Variablen $Z_k$ entweder vorgegeben werden oder aber es wird eine Schätzung der Form ${\hat{u}}_t^2={ϵ}_0+{ϵ}_1{\hat{y}}_t$ betrachtet.

Der Breusch-Pagan-Test reagiert sensitiv auf Verletzung der Normalverteilungsannahme der Residuen.

Einfache lineare Regression, Diagramm der Residuen und der quadrierten Residuen der Boston-Housing-Daten. Die rote Linie im rechten Diagramm zeigt, dass die quadrierten Residuen nicht-linear von der erklärenden Variable abhängen, also Heteroskedastizität vorliegt.

White-Test

Der White-Test ist ein Spezialfall des Breusch-Pagan-Tests, da hier die Fehlervarianzen als

${\sigma }_t^2={\alpha }_0+\sum _{k=1}^p{\alpha }_k{x}_{tk}+\sum _{k<l=1}^p{\beta }_{kl}{x}_{tk}{x}_{tl}$

modelliert werden. Die Hypothesen sind

$H_0:$ alle Koeffizienten außer ${\alpha }_0$ sind gleich Null vs.

$H_1:$ wenigstens ein Koeffizient außer ${\alpha }_0$ ist ungleich Null.

Zur Durchführung des White-Tests sollte die Zahl der Beobachtungen deutlich größer sein als die Zahl der Koeffizienten ${\alpha }_k$ und ${\beta }_{kl}$. Ansonsten muss man die Interaktionsterme $X_k{X}_l$ im Modell weglassen. Auch Dummy-Variablen werden wegen Multikollinearität nicht in die Interaktionsterme aufgenommen.

Der White-Test reagiert weniger sensitiv auf Verletzung auf der Normalverteilungsannahme der Residuen als der Breusch-Pagan-Test.