Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale) in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich $B\approx 0,05\mathrm{T}$ entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin $I$ und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses $m_F$, jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls $J=\frac{1}{2}$. Sie lautet:

$W_{I\pm \frac{1}{2},m_F}=-\frac{A}{4}+g_I{m}_F{\mu }_{\mathrm{K}}B\pm \frac{A(2I+1)}{4}\sqrt{1+\frac{8m_F(g_J{\mu }_{\mathrm{B}}-g_I{\mu }_{\mathrm{K}})}{(2I+1{)}^{2}A}B+{\left(2\frac{g_J{\mu }_{\mathrm{B}}-g_I{\mu }_{\mathrm{K}}}{A(2I+1)}B\right)}^2}$

Dabei ist $A$ die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, ${\mu }_{\mathrm{B}}$ das Bohrsche und ${\mu }_{\mathrm{K}}$ das Kernmagneton. $g_J$ und $g_I$ sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses $J$ bzw. Kernspins $I$.

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten der reduzierten Planck-Konstante $\hslash$ entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin $I=\frac{|\overrightarrow{I}|}{\hslash }=\frac{1}{2}$. Das einzige Elektron hat im Grundzustand ($l=0$) nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls $J=\frac{|\overrightarrow{J}|}{\hslash }=\frac{1}{2}$ ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{I}+\overrightarrow{J}$. Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von $J$ und $I$ stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:

${\hat{H}}_{\mathrm{H}\mathrm{F}\mathrm{S}}=A\frac{\overrightarrow{I}\cdot \overrightarrow{J}}{{\hslash }^2}+(g_J{\mu }_{\mathrm{B}}\frac{J_z}{\hslash }-g_I{\mu }_{\mathrm{K}}\frac{I_z}{\hslash })B$

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis $|JIF{m}_F⟩$ diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses $\overrightarrow{F}$ auf die Richtung des Magnetfeldes $m_F=m_J+m_I$ (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

$A\frac{\overrightarrow{I}\cdot \overrightarrow{J}}{{\hslash }^2}=\frac{A}{2}(F(F+1)-I(I+1)-J(J+1))$

Die $z$-Komponenten $I_z$ und $J_z$ lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als $(F|m_F)$ zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit $m_F=0$, die mischen.

$\frac{⟨JI{F}^{\prime }{m_F}^{\prime }|J_z|JIF{m}_F⟩}{\hslash }=\left(\begin{array}{ccccc}& (0|0)& (1|-1)& (1|0)& (1|1)\\ (0|0)& 0& 0& \frac{1}{2}& 0\\ (1|-1)& 0& -\frac{1}{2}& 0& 0\\ (1|0)& \frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ (1|1)& 0& 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Analog folgt für die $z$-Komponente des Kernspins:

$\frac{⟨JI{F}^{\prime }{m_F}^{\prime }|I_z|JIF{m}_F⟩}{\hslash }=\left(\begin{array}{ccccc}& (0|0)& (1|-1)& (1|0)& (1|1)\\ (0|0)& 0& 0& -\frac{1}{2}& 0\\ (1|-1)& 0& -\frac{1}{2}& 0& 0\\ (1|0)& -\frac{1}{2}& 0& 0& 0\\ (1|1)& 0& 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt $I=J=\frac{1}{2}$ sowie $g_J\approx 2$ für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:

${\hat{H}}_{\mathrm{H}\mathrm{F}\mathrm{S}}=\left(\begin{array}{ccccc}& (0|0)& (1|-1)& (1|0)& (1|1)\\ (0|0)& -\frac{3A}{4}& 0& ({\mu }_{\mathrm{B}}+\frac{g_I}{2}{\mu }_{\mathrm{K}})B& 0\\ (1|-1)& 0& \frac{A}{4}-({\mu }_{\mathrm{B}}-\frac{g_I}{2}{\mu }_{\mathrm{K}})B& 0& 0\\ (1|0)& ({\mu }_{\mathrm{B}}+\frac{g_I}{2}{\mu }_{\mathrm{K}})B& 0& \frac{A}{4}& 0\\ (1|1)& 0& 0& 0& \frac{A}{4}+({\mu }_{\mathrm{B}}-\frac{g_I}{2}{\mu }_{\mathrm{K}})B\end{array}\right)$

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in ${\mu }_{\mathrm{K}}$ für allgemeine Werte für $I,F$ und $m_F$ gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.