Borel-Hierarchie

Schematische Darstellung eines Ausschnitts der Borel-Hierarchie: Pfeile zeigen die Übergänge zwischen den Mengensystemen an, die Pfeile mit weißen Quadraten Teilmengen-Relationen

In der Mathematik und insbesondere der deskriptiven Mengenlehre ist die Borel-Hierarchie eine stufenweise Aufteilung der Borelschen σ-Algebra zu einem polnischen Raum. Sie stellt einen konstruktiven Aufbau aller Borel-Mengen dar. Ist eine Eigenschaft über alle Borel-Mengen zu beweisen, ist dies oft mittels transfiniter Induktion über alle Ebenen der Borel-Hierarchie möglich.

Definition

Über einem polnischen Raum $(X,𝔗)$ ($𝔗$ Menge der offenen Mengen) seien folgende Mengensysteme induktiv definiert:

• ${\mathrm{\Sigma }}_1^0:=𝔗$.
• ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0:=\{S\subseteq X|X\setminus S\in {\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \ge 1$.
• ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0:=\{S\subseteq X|\mathrm{\exists }{A}_0,A_1,A_2,\dots \in \bigcup _{p<\alpha }{\mathrm{\Pi }}_p^0:S=\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha >1$.
• ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0:={\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\cap {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \ge 1$.

${\mathrm{\Sigma }}_1^0$ bezeichnet also die offenen Mengen, ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ die Komplemente von ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$-Mengen, ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$ bezeichnet die Mengen, die sich als abzählbare Vereinigung der ${\mathrm{\Pi }}_p^0$-Mengen für $p<\alpha$ darstellen lassen, und ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$ die Mengen, die sowohl in ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$ als auch in ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ liegen.

Abschluss- und Monotonie-Eigenschaften

• Die ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarer Vereinigung und endlichem Schnitt.
• Die ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$-Mengen sind abgeschlossen unter abzählbarem Schnitt und endlicher Vereinigung.
• Die ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$-Mengen sind abgeschlossen unter endlichem Schnitt, endlicher Vereinigung und Komplementbildung.
• Die ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$-Mengen (ebenso auch die ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$-Mengen und die ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$-Mengen) sind abgeschlossen unter stetigen Urbildern, das heißt:

Für eine stetige Funktion $f:X\to Y$ zwischen topologischen Räumen $X$ und $Y$ ist $f^{-1}(A)$ wiederum eine ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$-Menge (${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$-Menge, ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$-Menge), falls $A\subseteq Y$ eine ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$-Menge (${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$-Menge, ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$-Menge) ist.

• ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0\subseteq {\mathrm{\Delta }}_{\alpha +1}^0\supseteq {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$ für alle abzählbaren Ordinalzahlen $\alpha$.

In überabzählbaren polnischen Räumen, welche stets die Kardinalität $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}$ haben, sind diese Inklusionen immer strikt, während in abzählbaren polnischen Räumen ${\mathrm{\Sigma }}_2^0$ bereits alle Teilmengen des Raumes enthält.

Bezug zur Borelschen σ-Algebra

Die Vereinigung aller Mengensysteme der Borel-Hierarchie bildet genau die Borelsche σ-Algebra, d. i. die kleinste σ-Algebra, die alle offenen Mengen des polnischen Raumes enthält.

Dass jede Menge in der Borelhierarchie in der Borelschen σ-Algebra enthalten sein muss, folgt unmittelbar aus den Abschlusseigenschaften einer σ-Algebra: Gäbe es Mengen in der Borel-Hierarchie, die nicht in der Borelschen σ-Algebra enthalten sind, so gäbe es eine kleinste Ordinalzahl $n$, sodass ${\mathrm{\Sigma }}_n^0$ eine solche enthält (denn die Ordinalzahlen sind wohlgeordnet), was äquivalent dazu ist, dass ${\mathrm{\Pi }}_n^0$ eine solche enthält, da σ-Algebren abgeschlossen unter Komplementbildung sind. Dieses Element ist jedoch Vereinigung abzählbar vieler Elemente von $\bigcup _{m<n}{\mathrm{\Pi }}_m^0$, welche alle Borel-Mengen sind. Somit müsste das Element ebenfalls in der σ-Algebra enthalten sein, da σ-Algebren abgeschlossen bzgl. abzählbarer Vereinigung sind.

Umgekehrt sind alle offenen Mengen in der Borel-Hierarchie enthalten und die Mengen der Borel-Hierarchie sind abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung: Ersteres folgt unmittelbar aus der Definition der ${\mathrm{\Pi }}_n^0$ als Komplemente, zweiteres lässt sich wie folgt zeigen: Seien abzählbar viele in der Borel-Hierarchie auftretende Mengen $S_0,S_1,S_2,\dots$ gegeben. Für jedes $i\in \mathbb{N}$ existiert eine Ordinalzahl ${\alpha }_i$, sodass $S_i\in {\mathrm{\Sigma }}_{{\alpha }_i}^0$, schließlich treten die Mengen in der Hierarchie auf. Für das Supremum $\hat{\alpha }:=\underset{i\in \mathbb{N}}{\sup }{\alpha }_i$ gilt dann $\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{S}_i\in {\mathrm{\Sigma }}_{\hat{\alpha }}^0$, und das Supremum einer Menge von Ordinalzahlen ist ihre Vereinigung, somit ist $\hat{\alpha }$ abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen und somit wiederum eine abzählbare Ordinalzahl. Nun wird auch deutlich, wieso gerade abzählbare Ordinalzahlen gewählt worden sind.

Bezug zur projektiven Hierarchie

Über polnischen Räumen wird ausgehend von der Borel-Hierarchie die projektive Hierarchie definiert, welche auf den analytischen Mengen, den Projektionen von Borel-Mengen, aufbaut. Nach dem Satz von Suslin sind die Borel-Mengen in einem polnischen Raum genau die Mengen, die analytisch sind und deren Komplement ebenfalls analytisch ist.

Duale Definition über abgeschlossene Mengen

Die Borel-Hierarchie lässt sich ebenfalls ausgehend von den abgeschlossenen Mengen definieren:

• ${\mathrm{\Pi }}_1^0$ sei die Menge aller abgeschlossenen Mengen.
• ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0:=\{S\subseteq X|X\setminus S\in {\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha \ge 1$.
• ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0:=\{S\subseteq X|\mathrm{\exists }{A}_0,A_1,A_2,\dots \in \bigcup _{p<\alpha }{\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0:S=\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\}$ für jede abzählbare Ordinalzahl $\alpha >1$.

Die ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$-Mengen werden also als abzählbarer Schnitt von ${\mathrm{\Sigma }}_p^0$-Mengen für $p<\alpha$ definiert.

Nomenklatur

Felix Hausdorff hat folgende Bezeichnungen für die Stufen der Hierarchie zu endlichen Ordinalzahlen eingeführt: $F_{\sigma }:={\mathrm{\Sigma }}_2^0$, $G_{\delta }:={\mathrm{\Pi }}_2^0$, $F_{\sigma \delta }:={\mathrm{\Pi }}_3^0$, $G_{\delta \sigma }:={\mathrm{\Sigma }}_3^0$, $F_{\sigma \delta \sigma }:={\mathrm{\Sigma }}_4^0$, $G_{\delta \sigma \delta }:={\mathrm{\Pi }}_4^0$ etc., siehe auch G_δ- und F_σ-Mengen. Die einheitliche Notation ${\mathrm{\Sigma }}_{\alpha }^0$, ${\mathrm{\Pi }}_{\alpha }^0$, ${\mathrm{\Delta }}_{\alpha }^0$, die auch die Analogie zur arithmetischen Hierarchie in der Rekursionstheorie andeutet, wurde von John Addison 1959 eingeführt.