Bochner-Martinelli-Formel

In der Mathematik ist die Bochner-Martinelli-Formel eine Verallgemeinerung der Cauchyschen Integralformel auf Funktionen mehrerer Veränderlicher.

Sie besagt, dass für eine auf dem Abschluss eines Gebiets $D\subset {ℂ}^n$ mit glattem Rand stetig differenzierbare Funktion $f:D\to ℂ$

$f(z)=\underset{\partial D}{\int }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)-\underset{D}{\int }\bar{\partial }f(\zeta )\wedge \omega (\zeta ,z)$

und insbesondere für eine holomorphe Funktion $f:D\to ℂ$

$f(z)=\underset{\partial D}{\int }f(\zeta )\omega (\zeta ,z)$

jeweils mit

$\omega (\zeta ,z)=\frac{(n-1)!}{(2\pi i{)}^n}\frac{1}{|z-\zeta {|}^{2n}}\sum _{1\le j\le n}({\bar{\zeta }}_j-{\bar{z}}_j)d{\bar{\zeta }}_1\wedge d{\zeta }_1\wedge \cdots \wedge d{\zeta }_j\wedge \cdots \wedge d{\bar{\zeta }}_n\wedge d{\zeta }_n$

gilt. $\omega (\zeta ,z)$ wird auch als Bochner-Martinelli-Kern bezeichnet.

Literatur

• Enzo Martinelli: Alcuni teoremi integrali per le funzioni analitiche di più variabili complesse, Atti della Reale Accademia d’Italia. Memorie della Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 9 (7), S. 269–283, 1938.
• Salomon Bochner: Analytic and meromorphic continuation by means of Green's formula, Annals of Mathematics, Second Series, 44 (4), S. 652–673, 1943.