Blume-Capel-Modell

Das Blume-Capel-Modell nach Martin Blume und Hans Willem Capel ist eine Verallgemeinerung des Ising-Modells in der Festkörperphysik. Es beschreibt eine Situation, in der sich die Spins mehrerer wechselwirkender Teilchen parallel, antiparallel oder orthogonal zu einem externen Magnetfeld ausrichten können, womit zusätzlich zum Ising-Modell auch der orthogonale Fall abgedeckt ist. Anders ausgedrückt beschreibt das Blume-Capel-Modell Spins mit einem Betrag $s=1$, während das Ising-Modell Spins mit einem Betrag $s=\frac{1}{2}$ beschreibt.

Definition

Der dem Blume-Capel-Modell zugrunde liegende Hamilton-Operator $\mathscr{H}$, dessen Eigenwerte die möglichen Energien des Systems sind, lautet:

$\mathscr{H}=-D\sum _i(1-s_i^{z2})-J\sum _{⟨i,j⟩}{s}_i^z{s}_j^z-\mu H\sum _i{s}_i^z$

Dabei ist

• $D$ das zero-field splitting, das die Energiedifferenz zwischen dem Singulett $s^z=0$ und dem Dublett $s^z=\pm 1$ angibt
• $J$ die Stärke der Wechselwirkung benachbarter Spins
• $\mu$ das magnetische Moment der Spins
• $H$ die Stärke des externen Magnetfeldes
• $s_i^z$ die $z$-Komponente des $i$-ten Spins.

Die Notation unter der Summe soll ausdrücken, dass nur über die jeweils nächsten Nachbarn summiert wird.

Der größte Unterschied zum Ising-Modell ist der zusätzliche, vom Parameter $D$ abhängige Term im Hamilton-Operator. Für nur zwei mögliche Ausrichtungen des Spins wie im Ising-Modell wäre dieser Term eine Konstante und, wie ein konstanter Term in einem Potential, physikalisch bedeutungslos.

Eigenschaften

Abhängig vom Wert von $D$ nimmt das System verschiedene Grundzustände ein und zeigt unterschiedliches Verhalten beim Phasenübergang.

Bezeichne $n$ die Anzahl der nächsten Nachbarn und $N$ die Anzahl der Spins im System, so gilt:

• Für $D>\frac{1}{2}nJ$ ist der Grundzustand magnetisch ungeordnet und alle Spins liegen orthogonal zum Magnetfeld, $s_i=0$. Die Grundzustandsenergie liegt bei $E_0=-ND$.
• Für $D=\frac{1}{2}nJ$ ist der Grundzustand entartet.
• Für $D<\frac{1}{2}nJ$ ist der Grundzustand vollständig magnetisch geordnet. Das heißt, alle Spins nehmen den Wert $s_i=1$ an und die Grundzustandsenergie liegt bei $E_0=-\frac{1}{2}NnJ$. In diesem Bereich existiert also eine Curie-Temperatur $T_{\mathrm{C}}$, bei der das System von einem magnetisch ungeordneten in einen magnetisch geordneten Zustand übergeht. Dieser Phasenübergang ist
  • für $-\mathrm{\infty }<D<\frac{1}{3}nJ\ln 4$ ein Phasenübergang zweiter Ordnung. Die Curie-Temperatur sinkt von $\frac{nJ}{k_{\mathrm{B}}}$ bei $D=-\mathrm{\infty }$ auf $\frac{1}{3}\frac{nJ}{k_{\mathrm{B}}}$ bei $D=\frac{1}{3}nJ\ln 4$ (darin ist $k_{\mathrm{B}}$ die Boltzmann-Konstante)
  • für $\frac{1}{3}nJ\ln 4<D<\frac{1}{2}nJ$ ein Phasenübergang erster Ordnung, bei dem die Magnetisierung abrupt von Null auf einen endlichen Wert springt. Die Curie-Temperatur sinkt weiter von $\frac{1}{3}\frac{nJ}{k_{\mathrm{B}}}$ bei $D=\frac{1}{3}nJ\ln 4$ auf $0$ K bei $D=\frac{1}{2}nJ$.