Birnbaum-Orlicz-Raum

Ein Birnbaum-Orlicz-Raum (auch Orlicz-Raum) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis und ein Funktionenraum, der die L^p-Räume verallgemeinert. Er ist benannt nach den polnischen Mathematikern Zygmunt Wilhelm Birnbaum und Władysław Orlicz.

Definition

Orlicz-Funktion

Sei $\mu$ ein σ-endliches Maß auf einer Menge $X$. Eine konvexe Funktion $\varphi :[0,\mathrm{\infty }]\to [0,\mathrm{\infty }]$ nennt man Orlicz-Funktion (auch Young-Funktion), wenn Folgendes gilt:

$\frac{\varphi (x)}{x}\to \mathrm{\infty },\text{wenn }x\to \mathrm{\infty },$ und

$\frac{\varphi (x)}{x}\to 0,\text{wenn }x\to 0$.

Orlicz-Norm

Sei nun $\psi$ die rechtsinverse Funktion zu ${\varphi }^{\prime }$, das heißt, es gilt $\psi (s)=\sup \{t:{\varphi }^{\prime }(t)\le s\}$. Wir definieren die Komplementärfunktion zu $\varphi$ als das Integral über die rechtsinverse Funktion ihrer Ableitung:

$Q_{\psi }(x)=\underset{0}{\overset{|x|}{\int }}\psi (s)\mathrm{d}s$.

Die Orlicz-Norm ist dann gegeben durch:

$\Vert f{\Vert }_Q=\sup \{\left|\underset{X}{\int }fg\mathrm{d}\mu \right|:\underset{X}{\int }{Q}_{\psi }(g(t))\mathrm{d}\mu (t)\le 1\}$.

Birnbaum-Orlicz-Raum

Der Birnbaum-Orlicz-Raum ist definiert als

$L_Q(X,\mu ):=\{f:X\to 𝕂:f\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r},\Vert f{\Vert }_Q<\mathrm{\infty }\}$

(oder kurz als $L_Q$), also als der Raum aller messbaren Funktionen, die eine endliche Orlicz-Norm besitzen.

Luxemburg-Norm

Eine äquivalente Norm namens Luxemburg-Norm erhält man durch

$\Vert f{\Vert }_{\varphi }=\inf \{k\in (0,\mathrm{\infty }):\underset{X}{\int }\varphi (|f|/k)\mathrm{d}\mu \le 1\}$.

Für eine Zufallsvariable $Y$ ergibt sich daraus folgende Norm:

$\Vert Y{\Vert }_{\varphi }=\inf \{k\in (0,\mathrm{\infty }):𝔼[\varphi (|Y|/k)]\le 1\}$.

Eigenschaften

• Für $\mu (X)<\mathrm{\infty }$ und $p\in [1,\mathrm{\infty })$ mit $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{x}^{-p}\varphi (x)>0$ gilt die Inklusionskette $L^{\mathrm{\infty }}\subset L_Q\subset L^p$.
• Nimmt man ${\varphi }_p(x):=x^p$, so erhält man die L^p-Räume.
• Ein Birnbaum-Orlicz-Raum ist ein Banach-Raum.