Biharmonische Abbildung

In der Mathematik ist die biharmonische Abbildung eine Verallgemeinerung des Begriffs der harmonischen Abbildung.

Eine Abbildung zwischen Riemannschen Mannigfaltigkeiten $u : M \to N$ heißt biharmonisch, wenn sie ein kritischer Punkt des Bi-Energie-Funktionals

E_{2} (u) : = \frac{1}{2} \int_{M} | Δ u |^{2} d v_{g} = \frac{1}{2} \int_{M} | \nabla_{e_{i}} D u (e_{i}) | d v_{g}

ist. Äquivalent muss $u$ die Euler-Lagrange-Gleichung

Δ^{2} u + R^{N} (D u (e_{i}), Δ u) D u (e_{i}) = 0

mit dem Riemannschen Krümmungstensor $R^{N}$ erfüllen.

Für harmonische Abbildungen nimmt $E_{2} (u)$ das globale Minimum $E_{2} (u) = 0$ an, weshalb harmonische Abbildungen biharmonisch sind. Wenn die Schnittkrümmung von $N$ nichtpositiv ist, gilt auch die Umkehrung. Ohne diese Voraussetzung gibt es im Allgemeinen aber biharmonische Abbildungen, die nicht harmonisch sind.

Siehe auch

Bi-Yang-Mills-Gleichungen, nichtlineare Verallgemeinerung

Literatur

Guoying Jiang: 2-harmonic maps and their first and second variational formulas. Chin. Ann. Math., Ser. A 7, 389–402 (1986).

Biharmonische Abbildung

Siehe auch

Literatur

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