Bethe-Sommerfeld-Vermutung

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus der Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren, welche sagt, dass die Anzahl der Lücken im Spektrum eines Schrödinger-Operators mit periodischem Potential in Dimension $d\ge 2$ endlich ist. Für ein Potential, welches gewisse Glattheitsbedingungen erfüllt, wurde die Vermutung 2008 von Leonid Parnowski bewiesen.

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist nach den deutschen Physikern Arnold Sommerfeld und Hans Bethe benannt.

Vermutung

Sei $V:{ℝ}^d\to ℝ$ ein periodisches, reelles Potential und $\mathrm{\Delta }$ der Laplace-Operator.

Die Anzahl Lücken im Spektrum des Schrödinger-Operators

$-\mathrm{\Delta }+V(𝐱),𝐱\in {ℝ}^d$

ist für $d\ge 2$ endlich.

Resultate

• 1981 bewies Wiktor Nikolajewitsch Popow und Maxim Skriganov den Fall $d=2$.
• 1984 bewies Maxim Skriganov den Fall $d=3$.
• 1998 bewies Bernard Helffer und Abderemane Mohamed den Fall $d=4$.
• 2008 bewies Leonid Parnowski die Vermutung unter Glattheitsbedingungen für das Potential.

Literatur

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