Beth-Funktion

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als $\beth$ geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

Definition

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl $\alpha$ eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl ${\beth }_{\alpha }$ zu:

• ${\beth }_0={\mathrm{\aleph }}_0$, wobei ${\mathrm{\aleph }}_0$ die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.
• ${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$ für Nachfolger-Ordinalzahlen $\alpha +1$. Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.
• ${\beth }_{\lambda }=\underset{\alpha <\lambda }{\sup }{\beth }_{\alpha }$ für Limes-Ordinalzahlen $\lambda$.

Bemerkungen

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit ${\mathrm{\aleph }}_1={\beth }_1$, denn ${\beth }_1$ ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum $ℝ$. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu $\mathrm{\aleph }=\beth$, das heißt ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\beth }_{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$.

Eine Limes-Kardinalzahl $\kappa$ heißt ein starker Limes, wenn ${\mu }^{\lambda }<\kappa$ für alle Kardinalzahlen $\lambda ,\mu <\kappa$. Eine Kardinalzahl $\kappa$ ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn $\kappa ={\beth }_{\xi }$ für eine Limes-Ordinalzahl $\xi$ ist.

Es gilt $\alpha \le {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\le {\beth }_{\alpha }$ für alle Ordinalzahlen $\alpha$. Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen $\alpha$, für die $\alpha ={\beth }_{\alpha }$ gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge ${\beth }_0,{\beth }_{{\beth }_0},{\beth }_{{\beth }_{{\beth }_0}},\dots$, der informal als ${\beth }_{{\beth }_{{}_{\ddots }}}$ dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.