Bestvina-Mess-Formel

Im mathematischen Gebiet der geometrischen Gruppentheorie berechnet die Bestvina-Mess-Formel (auch Satz von Bestvina und Mess) die Dimension des Randes einer hyperbolischen Gruppe aus ihrer Gruppenkohomologie. Sie wurde von Mladen Bestvina und Geoffrey Mess bewiesen.

Satz von Bestvina und Mess

Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine hyperbolische Gruppe, dann gilt für die Dimension ihres Randes ${\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$:

$\dim ({\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma })=\max \{n:H^n(\mathrm{\Gamma },\mathbb{Z}\mathrm{\Gamma })=0\}.$

Insbesondere gilt für torsionsfreie hyperbolische Gruppen

$\dim ({\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma })=cd(\mathrm{\Gamma }),$

wobei $cd(\mathrm{\Gamma })$ die kohomologische Dimension der Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ bezeichnet.

Z-Mengen

Die Bestvina-Mess-Formel folgt aus dem von Bestvina und Mess bewiesenen Isomorphismus von $R\mathrm{\Gamma }$-Moduln (für einen beliebigen Ring $R$):

$H^i(\mathrm{\Gamma },R\mathrm{\Gamma })\cong \check{H}(\partial \mathrm{\Gamma },R),$

wobei die rechte Seite die Čech-Kohomologie des Randes $\partial \mathrm{\Gamma }$ mit Koeffizienten im Ring $R$ bezeichnet.

Dieser wiederum folgt aus dem folgenden 1991 von Bestvina und Mess bewiesenen Satz.

Sei $P(\mathrm{\Gamma })$ der Rips-Komplex der hyperbolischen Gruppe $\mathrm{\Gamma }$. Dann ist $\overline{P(\mathrm{\Gamma })}:=P(\mathrm{\Gamma })\cup {\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ ein absoluter Retrakt und ${\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ eine $𝒵$-Menge in $\overline{P(\mathrm{\Gamma })}$.

Letzteres bedeutet, dass es für jede abgeschlossene Teilmenge $A\subset {\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ eine Homotopie $H:\overline{P(\mathrm{\Gamma })}\times [0,1]\to \overline{P(\mathrm{\Gamma })}$ mit $H_0=id$ und $H_t{|}_A=id$ gibt, so dass

$H_t(\overline{P(\mathrm{\Gamma })}\setminus A)\subset \overline{P(\mathrm{\Gamma })}\setminus {\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$

für alle $t>0$ gilt.

Anwendungen

Bestvina und Mess benutzen ihre Formel, um den folgenden Satz über die lokale Topologie des Randes zu beweisen:

Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine hyperbolische Gruppe. Es gebe einen Ring $R$ und ein $i>0$ für das $H^i(\mathrm{\Gamma },R\mathrm{\Gamma })$ endlich erzeugt und nicht Null ist. Wenn ${\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ zusammenhängend ist, dann ist es lokal zusammenhängend.

Für die Fundamentalgruppen $\mathrm{\Gamma }={\pi }_{1}M$ geschlossener, irreduzibler 3-Mannigfaltigkeiten $M$ beweisen sie, dass ${\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ homöomorph zur 2-Sphäre und die universelle Überlagerung $\tilde{M}$ homöomorph zum ${ℝ}^3$, sowie $\tilde{M}\cup {\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }$ homöomorph zur abgeschlossenen 3-Kugel $B^3$ ist.

In höheren Dimensionen $n\ge 6$ gilt der analoge Satz, dass für eine torsionsfreie, hyperbolische Gruppe $\mathrm{\Gamma }$, die die Fundamentalgruppe einer geschlossenen, asphärischen $n$-Mannigfaltigkeit $M$ mit $\tilde{M}\cong {ℝ}^n$ und $\tilde{M}\cup {\partial }_{\mathrm{\infty }}\mathrm{\Gamma }\cong B^n$ ist, der Rand homöomorph zu $S^{n-1}$ sein muss.

Literatur

• M. Bestvina, G. Mess: The boundary of negatively curved groups. J. Amer. Math. Soc. 4, 469–481 (1991).