Bers-Schnitt

Bers-Schnitt des (2-dimensionalen) Teichmüllerraums des punktierten Torus.

In der Mathematik sind Bers-Schnitte (engl. Bers slices) die Bilder gewisser Einbettungen des Teichmüller-Raums in den Raum der quasifuchsschen Gruppen. Sie haben oft eine fraktale Gestalt.

Bers-Schnitte und die mit ihrer Hilfe definierte skinning map spielen eine Rolle in vielen Beweisen der niedrig-dimensionalen Geometrie, zum Beispiel in Thurstons Beweis der Geometrisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Konstruktion

Sei $S$ eine geschlossene Fläche und $\mathrm{\Gamma }$ die zugehörige Flächengruppe. Man bezeichnet mit $𝒯(\mathrm{\Gamma })$ den Teichmüller-Raum von $S$ und mit $QF(\mathrm{\Gamma })$ den Raum aller derjenigen Homomorphismen $\mathrm{\Gamma }\to PSL(2,ℂ)$, deren Bild eine quasifuchssche Gruppe ist.

Simultane Uniformisierung gibt eine Bijektion

$QF(\mathrm{\Gamma })=𝒯(\mathrm{\Gamma })\times 𝒯(\mathrm{\Gamma })$.

Für ein fixiertes $X\in 𝒯(\mathrm{\Gamma })$ heißt dann die

$𝒯(\mathrm{\Gamma })\times \left\{X\right\}$

entsprechende Teilmenge von $QF(\mathrm{\Gamma })$ der (zu $X$ gehörende) Bers-Schnitt.

Bers-Kompaktifizierung

Mittels der Einbettung von $QF(\mathrm{\Gamma })$ in den Modulraum $AH(\mathrm{\Gamma })$ der markierten hyperbolischen Mannigfaltigkeiten homotopieäquivalent zu $S\times [0,1]$ kann man den Bers-Schnitt in diesen Modulraum einbetten. Sein Bild ist relativ kompakt, seine Kompaktifizierung heißt Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums.

Kerckhoff und Thurston haben bewiesen, dass die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf der Bers-Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums nicht stetig ist. Insbesondere stimmt die Bers-Kompaktifizierung nicht mit Thurstons Kompaktifizierung des Teichmüller-Raums überein.

Skinning map

Für eine geometrisch endliche hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit $M$ gibt ihr konformer Rand einen Punkt im Teichmüller-Raum $𝒯(\partial M)$. Andererseits ist das Bild $\mathrm{\Gamma }$ von ${\pi }_1\partial M\to {\pi }_{1}M$ eine quasifuchssche Gruppe und gibt somit einen Punkt in $QF(\mathrm{\Gamma })=𝒯(\mathrm{\Gamma })\times 𝒯(\mathrm{\Gamma })$. Die so definierte Abbildung

$𝒯(\mathrm{\Gamma })\to 𝒯(\mathrm{\Gamma })\times 𝒯(\mathrm{\Gamma })$

ist auf der ersten Komponente die Identitätsabbildung, ist also von der Form

$X\to (X,{\sigma }_M(X))$.

Die Abbildung

${\sigma }_M:𝒯(\mathrm{\Gamma })\to 𝒯(\mathrm{\Gamma })$

heißt skinning map.

Thurstons Bounded Image Theorem besagt, dass das Bild der skinning map endlichen Durchmesser hat. Es ist ein wesentlicher Schritt beim Beweis der Hyperbolisierung von Haken-Mannigfaltigkeiten.

Literatur

• Lipman Bers: Uniformization, moduli, and Kleinian groups. Bull. London Math. Soc. 4 (1972), 257–300. pdf
• Komori-Sugawa: Bers embedding of the Teichmüller space of a once-punctured torus. Conform. Geom. Dyn. 8 (2004), 115–142 pdf
• Komori-Sugawa-Wada-Yamashita: Drawing Bers embeddings of the Teichmüller space of once-punctured tori. Experiment. Math. 15 (2006), no. 1, 51–60. pdf