Bernstein-Funktion

Eine Bernstein-Funktion ist eine nicht-negative glatte Funktion, deren Ableitungen ein alternierendes Vorzeichen haben, das heißt sie sind komplett-monoton. Sie haben ihren Ursprung in der Potentialtheorie, werden aber auch in der Funktionalanalysis und der Stochastik untersucht. Sie tauchen insbesondere im Zusammenhang mit der Subordination von $C_0$-Halbgruppen auf Banach-Räumen oder lokalkonvexen Räumen auf, da der infinitesimale Erzeuger einer subordinierten Gruppe durch solche Funktionen mit dem Erzeuger der ursprünglichen Halbgruppe beschrieben werden kann.

Durch die Lévy-Khinchin-Formel können Bernstein-Funktionen eindeutig durch ein Lévy-Tripel $(a,b,\mu )$ charakterisiert werden.

Die Bernstein-Funktionen sind nach Sergei Natanowitsch Bernstein benannt, sie sind aber auch unter vielen weiteren Namen bekannt, darunter Laplace-Exponenten oder negativ-definite Funktionen.

Bernstein-Funktion

Eine Funktion $f:(0,\mathrm{\infty })\to [0,\mathrm{\infty })$ ist eine Bernstein-Funktion, falls

• $f\in C^{\mathrm{\infty }}(0,\mathrm{\infty })$ ist,
• $(-1{)}^{n-1}{f}^{(n)}(\lambda )\ge 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ und $\lambda >0$ gilt.

Lévy-Khinchin-Darstellung

Folgendes ist äquivalent:

• $f$ ist eine Bernstein-Funktion.
• Es existiert ein eindeutiges Lévy-Tripel $(a,b,\mu )$, d. h. es existieren zwei Konstanten $a,b\ge 0$ und ein positives Radonmaß $\mu$ auf $(0,\mathrm{\infty })$ mit

$\underset{(0,\mathrm{\infty })}{\int }(1\wedge t)\mu (\mathrm{d}t)<\mathrm{\infty },$

so dass

$f(\lambda )=a+b\lambda +\underset{(0,\mathrm{\infty })}{\int }(1-e^{-\lambda t})\mu (\mathrm{d}t)$

für alle $\lambda >0$. Letztere Darstellung nennt man Lévy-Khinchin-Darstellung.

Literatur

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