Beltrami-Form

In der Mathematik sind Beltrami-Formen gewisse messbare Funktionen, die man als Beltrami-Koeffizienten quasikonformer Abbildungen bekommt.

Sei $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ eine hyperbolische Fläche. Eine Beltrami-Form $\mu$ auf $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }{ℍ}^2$ ist eine messbare Funktion $\tilde{\mu }:{ℍ}^2\to ℂ$ mit $\Vert \tilde{\mu }{\Vert }_{\mathrm{\infty }}<\mathrm{\infty }$, so dass für alle $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$

$\tilde{\mu }(\gamma (z))=\frac{\overline{{\gamma }^{\prime }(z)}}{{\gamma }^{\prime }(z)}=\tilde{\mu }(z)$

für fast alle $z\in {ℍ}^2$ gilt.

Die Beltrami-Formen mit der Norm $\Vert .{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$ bilden einen Banach-Raum, der mit $ℬ(\mathrm{\Gamma })$ bezeichnet wird. Mit ${ℬ}^1(\mathrm{\Gamma })$ bezeichnet man den offenen Einheitsball $\{\mu \in ℬ(\mathrm{\Gamma }):\Vert \mu {\Vert }_{\mathrm{\infty }}<1\}$.

Nach dem Satz von Ahlfors-Bers gibt es zu jedem $\mu \in {ℬ}^1(\mathrm{\Gamma })$ einen quasikonformen Homöomorphismus ${\varphi }_{\mu }:{ℍ}^2:{ℍ}^2$ mit Beltrami-Koeffizient $\tilde{\mu }$. Für $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ verschwindet der Beltrami-Koeffizient von ${\rho }_{\mu }(\gamma ):={\varphi }_{\mu }^{-1}\circ \gamma \circ {\varphi }_{\gamma }$, weshalb ${\rho }_{\gamma }$ eine Darstellung $\mathrm{\Gamma }\to PSL(2,ℝ)$ und damit ein Element des Teichmüller-Raums $𝒯(\mathrm{\Gamma })$ definiert. Man erhält so eine surjektive Abbildung ${ℬ}^1(\mathrm{\Gamma })\to 𝒯(\mathrm{\Gamma })$.

Literatur

• J.-P. Otal: Thurston’s hyperbolization of Haken manifolds. Hsiung, C. C. (ed.) et al., Surveys in differential geometry. Vol. III. A supplement to the Journal of Differential Geometry. Lectures on geometry and topology in honor of the 80th birthday of Chuan-Chih Hsiung, Harvard University, Cambridge, MA, USA, May 3-5, 1996. Boston, MA: International Press. 77-194 (1998).