Barratt-Milnor-Sphäre

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie sind die Barratt-Milnor-Sphären ein Beispiel eines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen in beliebig hohen Graden nicht verschwinden und sogar überabzählbare Dimension haben. Sie sind nach Michael Barratt und John Milnor benannt.

Definition

Die $k$-dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als

$X=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\{(x_0,x_1,\dots ,x_k)\in {ℝ}^{k+1}:(x_0-\frac{1}{n}{)}^2+x_1^2+\dots +x_k^2=\frac{1}{n^2}\}$.

Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von $k$-Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem $n$ gegen Null konvergieren.

Für $k=1$ erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für $k>1$ verwendet.

Homologiegruppen

Für $q\equiv 1mod(r-1),q>1$ sind die singulären Homologiegruppen $H_q(X;\mathbb{Q})$ nicht Null und sogar überabzählbar.

Eigenschaften

Die $k$-dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind $(k-1)$-zusammenhängend und lokal $(k-1)$-zusammenhängend.

Sie sind aber nicht semilokal $k$-zusammenhängend.

Sie sind kompakt und $k$-dimensional.

Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von ${ℝ}^k$s.

Literatur

• M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)