Baric-Algebra

Als Baric-Algebra bezeichnet man eine lineare Algebra mit einer nichttrivialen Gewichtsfunktion (Vorlage:EnS, von Vorlage:ElS). Baric-Algebren sind eine Verallgemeinerung der in der theoretischen Biologie betrachteten genetischen Algebren.

Definition

Eine (nicht notwendigerweise assoziative) Algebra $A$ über einem Körper $K$ heißt Baric-Algebra, wenn es einen nichttrivialen Algebrenhomomorphismus $w:A⟶K$ gibt. $w$ wird Gewichtsfunktion genannt, $w(x)$ heißt Gewicht von $x\in A$.

Der Begriff der Baric-Algebra wurde 1939 von I.M.H. Etherington bei der Untersuchung genetischer Algebren eingeführt. Aus darstellungstheoretischer Sicht ist eine Baric-Algebra eine Algebra mit einer nichttrivialen Darstellung über ihrem Skalarkörper. Nicht-assoziative Algebren haben im Allgemeinen gar keine Matrix-Darstellung, deren einfachste Form eine Darstellung über dem Skalarkörper ist.

Charakterisierungen

• Eine nicht-assoziative $k$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es so ein Ideal $I\subset A$ gibt, so dass $A/I\cong k$
• Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $ℝ$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn sie eine genetische Basis besitzt, das heißt, zwischen den Basiselementen $u_1,u_2,\dots ,u_k$ besteht eine Beziehung $u_i\cdot u_j=\sum _{k=1}^n{\gamma }_{ijk}{u}_k$ mit Koeffizienten ${\gamma }_{ijk}\in ℝ$, für welche gilt: $\sum _{k=1}^n{\gamma }_{ijk}=1,{\gamma }_{ijk}\ge 0$.
• Eine nicht-assoziative $n$-dimensionale $ℝ$-Algebra $A$ ist genau dann eine Baric-Algebra, wenn es ein $(n-1)$-dimensionales Ideal $N\subset A$ gibt, für das gilt: $A^{\mathrm{2}}⊈N$.

Beispiele

• ${ℝ}^3$ mit dem Vektorprodukt als Multiplikation bildet eine nicht-assoziative $ℝ$-Algebra. Dies ist keine Baric-Algebra, denn es gibt darin kein Ideal der Dimension 2, das aber benötigt würde, damit der Quotient zu $ℝ$ isomorph wäre. Allgemeiner lässt sich zeigen, dass halbeinfache Lie-Algebren keine Baric-Algebren sind.
• ${ℝ}^2$ mit zwei Basisvektoren $e_1,e_2$, auf denen eine Multiplikation folgendermaßen erklärt ist:

$e_1\cdot e_1=e_2,e_1\cdot e_2=e_1,e_2\cdot e_1=e_2,e_2\cdot e_2=e_1$.

Damit ist eine genetische Basis gegeben und eine Baric-Algebra definiert; die Multiplikation ist nicht assoziativ:

$(e_1\cdot e_2)\cdot e_2\ne e_1\cdot (e_2\cdot e_2)$.

Eine nicht-triviale Gewichtsfunktion ist $w({\alpha }_1{e}_1+{\alpha }_2{e}_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2$.

• Gametische Algebra G der einfachen mendelschen Vererbung:

${ℝ}^2$ mit zwei Basisvektoren $a_1,a_2$ und folgender Multiplikationstafel:

.	$a_1$	$a_2$
$a_1$	$a_1$	$\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{2}{a}_2$
$a_2$	$\frac{1}{2}{a}_1+\frac{1}{2}{a}_2$	$a_2$

ist eine Baric-Algebra mit Gewichtsfunktion $w({\alpha }_1{a}_1+{\alpha }_2{a}_2)={\alpha }_1+{\alpha }_2$.

Literatur

• Rudolf Lidl, Johann Wiesenbauer: Ringtheorie und Anwendungen: Grundlagen und Anwendungsbeispiele in der Kodierungstheorie und in der Genetik. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1980, ISBN 3-400-00371-9
• Angelika Wörz-Busekros: Algebras in Genetics. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-09978-6.
• I.M.H. Etherington: Genetic Algebras. In: Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 59, 1939, S. 242–258