Baer-Summe

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Baer-Summe zweier zentraler Gruppenerweiterungen eine neue Erweiterung derselben Gruppe.

Konstruktion

Seien

ϕ_{1} : E_{1} \to G

und

ϕ_{2} : E_{2} \to G

zwei zentrale Erweiterungen mit „Parametrisierungen“ (d. h. Gruppenisomorphismen)

ι_{1} : A \to K e r (ϕ_{1}), ι_{2} : A \to K e r (ϕ_{2})

.

Sei

E_{1} \times_{G} E_{2} = {(x, y) \in E_{1} \times E_{2} : ϕ_{1} (x) = ϕ_{2} (y)}

.

Der durch

ϕ (x, y) : = ϕ_{1} (x) = ϕ_{2} (y)

gegebene Homomorphismus

ϕ : E_{1} \times_{G} E_{2} \to G

ist surjektiv mit Kern $A \times A$ . Definiere

E = (E_{1} \times_{G} E_{2}) / {(ι_{1} (a), - ι_{2} (a)) : a \in A}

.

$ϕ$ faktorisiert über $E$ und gibt eine zentrale Erweiterung mit Kern $A$ , die als Baer-Summe der beiden zentralen Erweiterungen bezeichnet wird.

Die Baer-Summe ist kommutativ und assoziativ, neutrales Element ist die triviale Erweiterung und das inverse Element einer durch einen Isomorphismus $ι$ parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit entgegengesetzter Parametrisierung $- ι$ .

J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994