BCFW-Rekursionsrelationen

Die BCFW-Rekursionsrelationen (auch Britto-Cachazo-Feng-Witten-Rekursionsrelationen), benannt nach Ruth Britto, Freddy Cachazo, Bo Feng und Edward Witten, sind eine Methode in der Quantenchromodynamik, um farbgeordnete Amplituden in niedrigster Ordnung der Störungstheorie (Baumordnung) mit vielen Teilchen zu berechnen, ohne auf Feynman-Diagramme zurückgreifen zu müssen.

BCFW-Rekursionsrelation für masselose Teilchen

Das Ziel ist es, die farbgeordnete Amplitude $A_n(1,...,n)$ zu berechnen. Dabei stehen $1,...,n$ für die beteiligten Teilchen mit Impuls $p_i=|i⟩[i|$ im Spinor-Helizitäts-Formalismus.

Zwei benachbarte Teilchen werden nun einer Verschiebung unterzogen. O. B. d. A. gilt für die Teilchen $1$ und $n$:

$|1⟩\to |1⟩+z|n⟩$

$|n]\to |n]+z|1]$

Dabei ist $z$ eine komplexe Zahl. Diese Verschiebung erhält die Lichtartigkeit der beteiligten Impulse mit $p_1^2(z)=p_n^2(z)=(p_1(z)+p_n(z){)}^2=0$.

Die verschobene Amplitude $A_n(z)$ kann jetzt auf Polstellen analysiert werden. Diese treten für alle farbgeordneten Regionalimpulse $P_i(z)=p_1(z)+\sum _{k=2}^i{p}_k,i=\{2,...,n-1\}$ auf, wobei $z$ die Form $z_{P_i}=\frac{P_i^2(z=0)}{⟨n|P_i(z=0)|1]}$ annimmt.

Um die BCFW-Rekursionsrelation zu erreichen, muss gefordert werden, dass $A_n(z\to \mathrm{\infty })=0$ gilt. Das gilt genau dann, wenn die Teilchen $1$ und $n$ die Helizität von $⟨1^{+},n^{-}]$, $⟨1^{+},n^{+}]$ oder $⟨1^{-},n^{-}]$ haben. Für den Fall $⟨1^{-},n^{+}]$ ergibt sich keine gültige BCFW-Rekursionsrelation.

Ist die Helizitätsbedingung erfüllt, so kann die farbgeordnete Amplitude mittels der Residuen an den Polstellen dargestellt werden. Es ergibt sich die BCFW-Rekursionsrelation:

$A_n(1,...,n)=\sum _{i=2}^{n-1}\sum _s{A}_L(1(z_{P_i}),...,i-1,P_i^s(z_{P_i}))\frac{1}{P_i^2}{A}_R(-P_i^{\overline{s}}(z_{P_i}),i,...,n(z_{P_i}))$

Dabei gibt $s=+,-$ die möglichen Helizitäten an.

BCFW-Rekursionsrelation für massive Teilchen

Auch für farbgeordnete Amplituden mit massiven Teilchen kann die BCFW-Rekursionsrelation verwendet werden, jedoch nur unter der Bedingung, dass mindestens zwei masselose Teilchen enthalten sind und das diese in der (farbgeordneten) Amplitude benachbart sind. Diese zwei masselosen Teilchen müssen dann für die Verschiebung verwendet werden, da nur für masselose Teilchen im Spinor-Helizitäts-Formalismus $p_i=|i⟩[i|$ gilt. Seien hier o. B. d. A. die verschobenen Teilchen $1$ und $n$.

Die Regionalimpulse $P_i(z)=p_1(z)+\sum _{k=2}^i{p}_k$ werden nun im Allgemeinen von massiven Teilchen mit Masse $m_{P_i}$ vermittelt. Für die Verschiebungsvariable gilt leicht verallgemeinert $z=\frac{P_i^2(z=0)-m_{P_i}^2}{⟨n|P_i(z=0)|1]}$.

Die BCFW-Rekursionsrelation ist gegeben durch

$A_n(1,...,n)=\sum _{i=2}^{n-1}\sum _s{A}_L(1(z_{P_i}),...,i-1,P_i^s(z_{P_i}))\frac{1}{P_i^2-m_{P_i}^2}{A}_R(-P_i^{\overline{s}}(z_{P_i}),i,...,n(z_{P_i}))$

$s$ gibt nach wie vor die möglichen Helizitäten an.

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