Böse Zahl

Aus testwiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Vorlage:Mehrere Bilder In der Zahlentheorie ist eine böse Zahl (englisch evil number) eine nichtnegative ganze Zahl, die im Dualsystem eine gerade Zahl von Einsen hat.[1] Nichtnegative ganze Zahlen, die nicht böse sind, werden abscheuliche Zahlen (englisch odious numbers) genannt.

Der Mathematiker John Conway hat 1982 in seinem Buch Winning Ways for Your Mathematical Plays[2] die Namen aufgrund eines Wortspiels etabliert. Die evil numbers haben eine even, also gerade Anzahl an Einsen, die odious numbers eine odd, also ungerade Anzahl an Einsen.

Beispiele

  • Die Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) von k=23 lautet:
23=16+0+4+2+1=1⋅24+0⋅23+1⋅22+1⋅21+1⋅20=(10111)2
Diese Binärdarstellung besteht aus 4 Einsen. 4 ist eine gerade Zahl und somit ist k=23 eine böse Zahl.
  • Die Binärdarstellung von k=25 lautet:
25=16+8+0+0+1=1⋅24+1⋅23+0⋅22+0⋅21+1⋅20=(11001)2
Diese Binärdarstellung besteht aus 3 Einsen. 3 ist eine ungerade Zahl und somit ist k=25 keine böse Zahl, sondern eine abscheuliche Zahl.
  • Die ersten bösen Zahlen, die kleiner als 100 sind, lauten:
0, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 17, 18, 20, 23, 24, 27, 29, 30, 33, 34, 36, 39, 40, 43, 45, 46, 48, 51, 53, 54, 57, 58, 60, 63, 65, 66, 68, 71, 72, 75, 77, 78, 80, 83, 85, 86, 89, 90, 92, 95, 96, 99, … (Vorlage:OEIS)

Eigenschaften

  • Sei d>2. Dann gelten die folgenden beiden Aussagen:[3]
  • Es gibt gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Darstellung im Dualsystem jeweils d Stellen haben.
  • Die Menge der bösen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem und die Menge der abscheulichen Zahlen mit d Stellen im Dualsystem haben dieselbe Summe, nämlich
3⋅22d−4−2d−3
Beispiel:
Sei d=5.
Dann gibt es exakt 8 böse Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
17=(10001)2, 18=(10010)2, 20=(10100)2, 23=(10111)2, 24=(11000)2, 27=(11011)2, 29=(11101)2 und 30=(11110)2
Außerdem gibt es exakt 8 abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich die folgenden:
16=(10000)2, 19=(10011)2, 21=(10101)2, 22=(10110)2, 25=(11001)2, 26=(11010)2, 28=(11100)2 und 31=(11111)2
Es gibt offensichtlich gleich viele böse wie abscheuliche Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, nämlich 8, was die erste Aussage des obigen Satzes verlangt.
Weiters ist 3⋅22d−4−2d−3=3⋅22⋅5−4−25−3=3⋅26−22=3⋅64−4=192−4=188.
Tatsächlich gilt für die Summe der 8 bösen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat:
17+18+20+23+24+27+29+30=188
Für die Summe der 8 abscheulichen Zahlen, deren Binärdarstellung nur 5 Stellen hat, gilt:
16+19+21+22+25+26+28+31=188
Die Summe ist gleich, wie im obigen Satz angegeben.
  • Sei die Nim-Addition, ⊕, wie folgt definiert:
Für jedes Paar ganzzahliger, nichtnegativer Zahlen a,b∈ℕ gilt: (a)10⊕(b)10=(a)2+(b)2 mit 0+0=0, 0+1=1+0, 1+1=0 (im letzten Fall aber ohne Übertrag auf die nächsthöhere Stelle).
Dann gilt:[2]
Die bösen und abscheulichen Zahlen verhalten sich unter „Nim-Addition“, ⊕, wie die geraden und ungeraden Zahlen unter „normaler“ Addition. Also gilt:
  • böse ⊕ böse = böse
  • abscheulich ⊕ abscheulich = böse
  • böse ⊕ abscheulich = abscheulich ⊕ böse = abscheulich
Beispiel 1:
Weiter oben wurde gezeigt, dass 23=(10111)2 eine böse Zahl ist, weiters ist auch 51=(110011)2 eine böse Zahl:
2310⊕5110=(10111)2+(110011)2=(100100)2
Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
Beispiel 2:
Weiter oben wurde gezeigt, dass 25=(11001)2 eine abscheuliche Zahl ist, weiters ist auch 52=(110100)2 eine abscheuliche Zahl:
2510⊕5210=(11001)2+(110100)2=(101101)2
Das Ergebnis hat eine gerade Anzahl an Einsen, ist also eine böse Zahl.
Beispiel 3:
Weiter oben wurde gezeigt, dass 51 eine böse und 52 eine abscheuliche Zahl ist:
5110⊕5210=(110011)2+(110100)2=(000111)2
Das Ergebnis hat eine ungerade Anzahl an Einsen, ist also eine abscheuliche Zahl.
  • Es gibt magische Quadrate, die nur aus bösen Zahlen bestehen. Das magische Quadrat mit den kleinsten bösen Zahlen ist das folgende:[3]
18 45 9
15 24 33
39 3 30
  • Lässt man die letzte Stelle (also das letzte Bit) der Binärdarstellung der bösen Zahlen weg, so erhält man die Menge der natürlichen Zahlen, also 0, 1, 2, 3, ...[1]
  • Böse Zahlen geben die Positionen der Nullwerte in der Thue-Morse-Folge an und werden daher auch Thue-Morse-Menge genannt.[4]
Beispiel:
Die Morse-Folge lautet:
0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, … (Vorlage:OEIS)
Tatsächlich hat diese Folge, wenn man mit 0 zu zählen beginnt, an der 0., der 3., der 5., der 6., der 9., der 10. usw. Stelle eine Null. Die bösen Zahlen geben also die Stellen an, an denen die Morse-Folge eine Null hat.
  • Es sind Zahlen bekannt, die der Summe ihrer bösen Teiler entsprechen. Diese lauten:[5]
18, 476, 1484, 1988, 2324, 3164, 4172, 4564, 5516, 7196, 7364, 7532, 8036, 8876, 9716, 9772, 10052, 10444, 10892, 11956, 12572, 13076, 13412, 14084, 16604, 16772, 18004, 19866, 20692, 21328, 21364, 21644, 22316, 22988, 23492, 23884, 23996, 24164, 24668, 24836, … (Vorlage:OEIS)
Man könnte obige Zahlen böse-perfekte Zahlen nennen.[5]
Beispiel:
Die Binärdarstellung der bösen Zahl n=18 lautet:
n=18=16+0+0+2+0=1⋅24+0⋅23+0⋅22+1⋅21+0⋅20=(10010)2
Die Zahl n=18 hat die folgenden Teiler: d1=1=(1)2,d2=2=(10)2,d3=3=(11)2,d4=6=(110)2,d5=9=(1001)2. Die Teiler 3, 6 und 9 haben in ihrer Binärdarstellung eine gerade Zahl von Einsen, sind also böse Zahlen und es gilt: 3+6+9=18. Somit ist 18 die Summe ihrer bösen Teiler.
  • Die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen kann in die Menge der bösen Zahlen und in die Menge der abscheulichen Zahlen eindeutig aufgeteilt werden. Diese haben gleiche Multimengen von paarweisen Summen.[6]
  • Die Aufteilung der Zahlen von 0 bis 2k−1 für alle natürlichen Zahlen k∈ℕ in böse und abscheuliche Zahlen bietet eine Lösung für das Prouhet-Tarry-Escott-Problem, Zahlenmengen zu finden, deren Potenzsummen bis zur k-ten Potenz gleich sind.[7]
Diese Aussage wurde vom französischen Mathematiker Eugène Prouhet im 19. Jahrhundert bewiesen.

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ 1,0 1,1 Neil Sloane: Sequenz A001969: Evil numbers: nonnegative integers with an even number of 1's in their binary expansion, auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  2. ↑ 2,0 2,1 Winning Ways for Your Mathematical Plays, Volume 1, S. 110 (PDF; 18 MB)
  3. ↑ 3,0 3,1 evil numbers auf Numbers Aplenty
  4. ↑ Vorlage:Internetquelle
  5. ↑ 5,0 5,1 Neil Sloane: Sequenz A230587: Number n such that the sum of its proper evil divisors (A001969) equals n., auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  6. ↑ Vorlage:Internetquelle
  7. ↑ Vorlage:Internetquelle
Abgerufen von „https://de.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Böse_Zahl&oldid=26555“