Auflösung (Blockplan)

Eine Auflösung eines 2-Blockplanes (einer speziellen Inzidenzstruktur) ist in der endlichen Geometrie eine Verallgemeinerung des Parallelismus von Blockplänen. So ist die Partition der Menge der d-dimensionalen Unterräume als Blöcke einer affinen Geometrie $A{G}_d(n,q)$ in Parallelenscharen eine 1-Auflösung dieser Geometrie als 2-Blockplan. Ein Blockplan, der eine Auflösung zulässt, heißt auflösbarer Blockplan, zerfällt bei dieser Auflösung die Blockmenge in eine maximale Anzahl c von verallgemeinerten Parallelen-Scharen, dann spricht man von einer starken Auflösung und nennt den Blockplan stark auflösbar.

Definitionen

• Sei $ℐ=(𝔭,𝔅,I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan. Eine Auflösung von $ℐ$ ist eine Partition der Blockmenge $𝔅$ von $ℐ$ in Scharen $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$, so dass es positive ganze Zahlen $\{{\rho }_1,\dots ,{\rho }_c\}$ gibt mit der Eigenschaft, dass jeder Punkt in $𝔭$ auf genau ${\rho }_i$ Blöcken von ${𝔅}_i$ liegt. Die Zahlen ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_c$ heißen die Parameter der Auflösung. Sind alle Parameter einer Auflösung gleich $\rho$, so spricht man von einer $\rho$-Auflösung.
• Ein Blockplan heißt auflösbar bzw. $\rho$-auflösbar, wenn er eine Auflösung bzw. eine $\rho$-Auflösung besitzt.
• Ist $ℐ$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen und gilt $b+1=v+c$, dann wird diese Auflösung starke Auflösung des Blockplanes und der Blockplan stark auflösbar genannt.
• Sind $B,C\in {𝔅}_i$ zwei Blöcke eines auflösbaren Blockplanes in derselben Klasse ${𝔅}_i$, dann schreibt man auch $B\parallel C$ und nennt die Blöcke parallel bezüglich der Auflösung. Der so definierte verallgemeinerte Parallelismus ist offenbar eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke.
• Für eine Auflösung $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$ setzt man $m_i=|{𝔅}_i|,1\le i\le c$ für die Anzahl der Blöcke in der Schar ${𝔅}_i$.

Eigenschaften

Sei $ℐ=(𝔭,𝔅,I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan, der eine Auflösung $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$ mit den Parametern ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_c$ besitzt. Dann gilt

1. $m_i\cdot k=v\cdot {\rho }_i,(1\le i\le c),$
2. ${\rho }_1+\cdots +{\rho }_c=r,m_1+\cdots +m_c=b,$
3. Besitzt $ℐ$ eine $\rho$-Auflösung, so ist k ein Teiler von $v\cdot \rho$ und jede Klasse hat dieselbe Anzahl m von Blöcken.

• Ist $ℐ$ ein auflösbarer Blockplan mit c Klassen, dann ist $b+1\ge v+c$. Eine starke Auflösung ist also eine Auflösung mit der für die Blockmenge $𝔅$ von $ℐ$ größtmöglichen Anzahl an Scharen.

Satz von Hughes und Piper über starke Auflösungen Vorlage:Anker

• Der folgende Satz von Hughes und Piper charakterisiert die starken Auflösungen:

Sei $ℐ=(𝔭,𝔅,I)$ ein $2-(v,k,\lambda )$-Blockplan mit b Blöcken, der eine Auflösung $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$ besitzt. Dann gilt $b+1\ge v+c$ und Gleichheit genau dann, wenn es zwei nichtnegative Zahlen ${\mu }_I$ („innere Schnittzahl“) und ${\mu }_A$ („äußere Schnittzahl“) mit folgenden Eigenschaften gibt:

• Je zwei verschiedene Blöcke derselben Klasse haben stets genau ${\mu }_I$ Schnittpunkte und
• je zwei Blöcke aus verschiedenen Klassen haben stets genau ${\mu }_A$ Schnittpunkte.

Satz von Beker über auflösbare 3-Blockpläne Vorlage:Anker

• Der Satz von Beker klärt die Frage, wann ein stark auflösbarer Blockplan ein 3-Blockplan ist:

Die stark auflösbaren 3-Blockpläne sind genau die Hadamard 3-Blockpläne.

Beispiele

• Jeder Blockplan $ℐ=(𝔭,𝔅,I)$ besitzt die triviale Auflösung $\{𝔅\}$, d. h. jeder Blockplan ist r-auflösbar. – Die Zahl $r=b_1$ gibt bei einem Blockplan an, mit wie vielen Blöcken ein beliebiger Punkt inzidiert.
• Ist $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$ eine Auflösung von $ℐ$, dann erhält man wieder eine Auflösung von $ℐ$, wenn man gewisse Scharen zu einer neuen Schar vereinigt. Zum Beispiel sind $\{{𝔅}_1\cup {𝔅}_2,\dots ,{𝔅}_c\}$ und $\{{𝔅}_1\cup \dots \cup {𝔅}_{c-1},{𝔅}_c\}$ wieder Auflösungen von $ℐ$.
• Ein Blockplan ist genau dann 1-auflösbar, wenn er einen Parallelismus besitzt. Die Auflösung $\{{𝔅}_1,\dots ,{𝔅}_c\}$ ist die Einteilung der Blockmenge in Parallelenscharen und es gilt $c=r=b_1$, die innere Schnittzahl ist dann ${\mu }_I=0$, die äußere Schnittzahl braucht aber nicht konstant sein.

• Speziell ist eine affine Geometrie $A{G}_d(n,q)$ mit ihrem gewöhnlichen Parallelismus 1-auflösbar und es gilt dann $m_i=b/r$, das heißt die Anzahl der Parallelen in jeder Schar ist gleich, die äußere Schnittzahl ist konstant, falls $d=n-1$, also die Blockmenge die Menge der Hyperebenen des Raumes ist.
• Jeder affine Blockplan ist durch seinen Parallelismus 1-auflösbar, auch hier ist $m_i=b/r$ für jede Parallelenschar gleich.

Verallgemeinerung: Taktische Zerlegung

Jede Auflösung eines 2-Blockplanes liefert zugleich auch eine spezielle taktische Zerlegung dieses Blockplanes. Bei dieser Verallgemeinerung des Konzeptes „Auflösung eines Blockplanes“ wird im Allgemeinen neben der Partitionierung der Blockmenge in (verallgemeinerte Parallelen-)Scharen auch die Punktmenge in mehrere „Punktklassen“ zerlegt.

Literatur

Artikel zu Einzelfragen

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Lehrbücher

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