Assoziiertes Primideal

In der kommutativen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein Primideal eines Ringes $R$ assoziiert zu einem Modul $M$ über $R$, wenn es der Annihilator eines Elementes aus $M$ ist.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition

Sei $R$ ein Ring, sei $𝔭\subseteq R$ ein Primideal und sei $M$ ein $R$-Modul. Dann heißt $𝔭$ assoziiert zu $M$, wenn ein $m\in M$ existiert, sodass gilt:

$𝔭=\mathrm{A}\mathrm{n}\mathrm{n}(m)$.

Es gibt also ein $m$ in $M$, sodass für alle $r$ in $R$ gilt:

$r*m=0\iff r\in 𝔭$

Die Menge der assoziierten Primideale wird mit $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$ bezeichnet.

Sätze

Es gelten folgende Sätze für einen Modul $M$ über einem Ring $R$:

• Ist $U$ ein Untermodul von $M$, so ist

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(U)\subset \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)\subset \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(U)\cup \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M/U)$

• Ist $M$ nicht der Nullmodul und $R$ noethersch, so ist $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$ nicht leer.
• Ist $R$ noethersch, so ist

$\bigcup _{𝔭\in \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)}𝔭$

die Menge aller Nullteiler von $M$.

• Ist $M$ endlich erzeugt und $R$ noethersch, so gibt es eine Kette von Untermoduln (eine Kompositionsreihe)

$M=M_0\subset M_1\subset \dots \subset M_n=0$

und eine Menge von Primidealen

$\{{𝔭}_i|0\le i<n,𝔭\in \mathrm{Spec}(R)\}\supset \mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$

sodass $M_i/M_{i+1}$ isomorph zu $R/p_i$ ist. Insbesondere ist in diesem Fall $\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)$ eine endliche Menge.

• Allgemein: Ist $R$ noethersch und gibt es eine Kompositionsreihe

$M=M_0\subset M_1\subset \dots \subset M_n=0$

sodass $M_i/M_{i+1}$ isomorph zu $R/{𝔭}_i$ ist (mit Primidealen ${𝔭}_i$), so gilt:

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{s}(M)\subset \{{𝔭}_0,\dots ,{𝔭}_{n-1}\}\subset \mathrm{S}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(M)$

Diese drei Mengen besitzen dieselbe minimalen Elemente.

• Daraus folgt insbesondere, dass ein noetherscher Ring nur endlich viele minimale Primideale enthält.

Zusammenhang mit dem Träger

Wenn $R$ ein noetherscher Ring und $M$ ein Modul ungleich dem Nullmodul ist, dann ist der Träger von $M$ die Menge aller Primideale, die Obermenge eines zu $M$ assoziierten Primideals sind.

Literatur

• Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, 1969, ISBN 0-2010-0361-9.
• Brüske, Ischebeck, Vogel: Kommutative Algebra, Bibliographisches Institut 1989, ISBN 978-3411140411.
• Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie. Vieweg, 1980, ISBN 3-528-07246-6.
• Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, Graduate Texts in Mathematics 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
• Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra