Artin-Gruppe

In der Mathematik ist eine Artin-Gruppe ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie. Diese besondere Klasse von Gruppe ist nach dem Mathematiker Emil Artin benannt.

Definition

Eine Artin-Gruppe ist eine Gruppe mit einer Präsentierung der Form

$⟨x_1,x_2,\dots ,x_n|⟨x_1,x_2{⟩}^{m_{1,2}}=⟨x_2,x_1{⟩}^{m_{2,1}},\dots ,⟨x_{n-1},x_n{⟩}^{m_{n-1,n}}=⟨x_n,x_{n-1}{⟩}^{m_{n,n-1}}⟩$

mit

$m_{i,j}=m_{j,i}\in \{2,3,\dots ,\mathrm{\infty }\}$.

Für $m<\mathrm{\infty }$ bedeutet dabei $⟨x_i,x_j{⟩}^m$ das alternierende Produkt der Länge $m$ von $x_i$ und $x_j$, beginnend mit $x_i$. Also beispielsweise

$⟨x_i,x_j{⟩}^3=x_i{x}_j{x}_i$

oder

$⟨x_i,x_j{⟩}^4=x_i{x}_j{x}_i{x}_j$.

$m_{ij}=\mathrm{\infty }$ bedeutet, dass es zwischen $x_i$ und $x_j$ keine Relationen gibt.

Spezialfälle

Zopf-Gruppen

Vorlage:Hauptartikel Zopf-Gruppen erhält man als Spezialfall mit

$m_{i,i+1}=m_{i+1,i}=3\mathrm{\forall }i$

und

$m_{i,j}=2\mathrm{\forall }\mid i-j\mid >1$.

Rechtwinklige Artin-Gruppen

Vorlage:Hauptartikel Rechtwinklige Artin-Gruppen sind Artin-Gruppen mit

$m_{i,j}\in \{2,\mathrm{\infty }\}$

für alle $i,j$. Sie spielen eine wichtige Rolle in der 3-dimensionalen Topologie.